二十世纪的拓扑学
Posted by 宝水 on 一月 10th, 2008
拓扑学在20世纪数学中占有核心的地位。布尔巴基学派的主将迪厄多内（J.Dieudonn ）在1970年代中曾这样概括：“代数拓扑学与微分拓扑学通过它们对于所有其他数学分支的影响，才真正应该名副其实地称为20世纪数学的女王。”
拓扑：加速发展的渗透性学科
在拓扑学还是灰姑娘的时候，20世纪最伟大的数学家之一、规范理论的奠基者外尔（H.Weyl），已经多次强调抽象代数学和拓扑学是理解数学的两种途径，并论述拓扑学的奠基人黎曼和庞加莱工作的意义。但直到20世纪下半叶，通过本文介绍的12位菲尔兹奖获得者以及其他一些大数学家的工作，拓扑学才真正脱颖而出，成为数学发展的领头羊，把传统的数学领域——数论、代数、几何、分析加以改造，并推向一个全新的水平，而且还给理论物理、化学、生物科学、经济学甚至心理学带来意想不到的应用。这种成就是高斯的数学女王——数论与传统的前沿——分析所达不到的。
20世纪下半叶获奖的12位数学家正好反映了拓扑学的蓬勃发展及其影响的扩大。他们是1954年获奖者塞尔（J.P.Serre），1958年获奖者托姆 (R.Thom)，1962年获奖者米尔诺(J.Milnor)，1966年获奖者阿蒂亚 (M.Atiyah)、斯梅尔(S.Smale)，1970年获奖者诺维科夫(S.Novikov)，1978年获奖者奎伦(D.Quillen)， 1982年获奖者瑟斯顿(W.Thurston)，1986年获奖者弗里德曼(M.Freedman)、唐纳森(S.Donaldson)，1990年获奖者琼斯(V.Jones)、威滕(E.Witten)。
值得注意的是，他们虽都因拓扑学上的成就获奖，但大都在其他数学领域乃至理论物理和哲学方面取得新的突破，而这正反映了拓扑学的地位。许多人是真正的数学大师，是当今数学界的领袖人物。
这12位获奖者的工作显示出20世纪拓扑学的发展轨迹。在上半世纪，不仅建立了一般拓扑学的基础，还创立了拓扑学中相互关联的四大领域：（1）同调论，特别是同调论的公理化，引入上同调及上同调运算；（2）同伦论；（3）纤维丛和示性类理论；（4）拓扑变换群和不动点理论以及连续映射、可微映射、莫尔斯（M.Morse）理论等。可是对至关重要的球面同伦群的计算，到1940年代末只计算出一两个，算第三个同伦群时，前苏联著名数学家庞特里亚金（L.S.Pontrjagin）还出过错（他由此离开拓扑学领域）。这时，法国学派领导世界新潮流，在韦伊（A.Weil）、嘉当（H.Cartan）、勒雷（J.Leray）等老一辈数学家的指引下，新一代数学家迅速成长，最突出的有塞尔、托姆、吴文俊等人，正是他们在1940年代末和1950年代初成就了拓扑学的辉煌时期，对于5维和5维以上的流形拓扑学取得重大突破。然而对于低维（特别是3维及4维拓扑学）却无能为力。在 1970年代中，拓扑学进入一个低潮。
不久，瑟斯顿、弗里德曼分别在3维和4维拓扑学上取得突破，这与物理学有着不可思议的关系，拓扑学进入第二个黄金时期。这也从获奖者获奖时间明显划分出来，前7位主要研究高维拓扑，而后5位则研究低维拓扑。
高维拓扑学的辉煌成就
第一位因拓扑学方面的成就荣获菲尔兹奖的是塞尔，他也是迄今为止最年轻的获奖者，获奖时还不满28周岁。塞尔1926年9月15日生于法国南部巴热，在七八岁时就喜欢数学，11岁到尼姆上中学，14岁开始看微积分。1944年参加中学会考，获数学第一名。1945年考进高等师范学校，1948年毕业。 1948—1953年在国家科学研究中心任实习研究员，1951年获博士学位。1953年升任助理研究员，1954—1956年到南锡大学任数学系讲师。 1956年，30岁的塞尔成为法兰西学院代数和几何讲座教授，1994年成为荣誉教授。
塞尔在1951年的博士论文里把同伦论发展到新的高度，开拓了拓扑学广泛的应用前景。他首先攻克球面同伦群计算的大难题，证明有限性定理，证明除了两个无穷系列之外，其他同伦群都是有限阿贝尔群，还发展一些新方法来计算它们。在取得拓扑学的突破之后，他把拓扑学的方法成功应用到其他数学领域并取得一系列成就。首先是同嘉当在多复变函数论上利用勒雷的层的观念取得划时代的成果，证明定理A，B，发展斯坦因（K.Stein）空间理论。他独立证明代数几何和复解析几何的相似性，他的论文以GAGA著称。他还发展了同调代数学，简单说就是应用拓扑方法来研究抽象代数。他取得同调代数学的首批重大结果，而这是用抽象代数方法得不到的。这又一次显示拓扑方法的成功。最后，他的兴趣转向数论，也是引进一系列的拓扑方法，特别是伽罗瓦上同调，成为解决问题的有力工具。
塞尔的工作博大精深，在解决大问题上也毫不逊色。在1994年英国数学家怀尔斯（A.Wiles）成功证明费尔马大定理的过程中，关键一步便是证明塞尔的 ε猜想，这里的ε表示塞尔大猜想的一个极小部分。他的论文在1986年已收集成《全集》3卷，1985—1998年的论文收集成第4卷于2000年出版，其中不乏经典之作。他获得许多荣誉，包括法国科学院院士和美国科学院外籍院士，英国伦敦皇家学会外籍院士。他还荣获2000年度沃尔夫奖和1985年巴尔赞（Balzan）奖。他出版十几种论述性著作，论述清楚明白深入浅出，为此获得美国数学会斯蒂尔（Steele）奖中的论述奖。
托姆于1923年9月2日生于法国蒙特利亚尔。1943年进入高等师范学校，1946年毕业后到斯特拉斯堡大学，跟随嘉当和埃雷斯曼（C.Ehresmann）读博士，在这里他结识了吴文俊并受到吴的影响。1951年他写出博士论文“球丛空间及斯廷罗德（Steernod）平方”，获得国家博士学位，其后两年去美国访问，1953年回国后任格林诺布尔大学讲师，1954年回斯特拉斯堡大学任讲师，1957—1963年任教授。1964 年到巴黎高等科学研究院任数学教授，1988年退休。
托姆的获奖工作主要是1954年发表的配边理论。配边是流形间的一个等价关系，两个n维流形称为配边，如果它们共同构成一个n＋1维流形的边。流形按配边关系划分成等价类，这些等价类构成一个阿贝尔群Nn。而各维的群构成一个分次环N。托姆的功绩在于完全定出N的结构并定出其生成元。其中关键定理是Nn与托姆复形的同伦群同构。他还把配边理论推广到定向流形，并且得到相应的结果。这个漂亮的工作不仅引出一系列新配边理论，而且对数学产生冲击性的影响。
利用托姆的配边理论，德国数学家希策布鲁赫（F.Hirzebruch）证明了高维代数的黎曼－洛赫定理，米尔诺证明了7维球面上有多种微分结构，阿蒂亚和辛格（I.M.Singer）给出指标公式最早证明。托姆其后发展了奇点定理，并提出突变理论，引起了轰动。突变理论系统论述于1972年出版的《结构稳定性与形态发生》一书中。这时他的兴趣转向生物学、语言学和哲学，并建立“语义物理学”。1989年《语义物理学概要》出版，提出他的一套科学哲学体系。托姆是法国科学院院士。
米尔诺1931年2月20日生于新泽西州奥兰治，中学时期就是数学竞赛的优胜者。1948年进入普林斯顿大学学习，1951年毕业，1954年获博士学位，后留校任教，1956年任教授，1962年任亨利 帕特曼讲座教授。1968—1970年任麻省理工学院教授。1970年任普林斯顿高等研究院数学教授。1989年起任纽约州立大学石溪分校数学科学研究所所长。
米尔诺的工作继续托姆对于定向配边群的确定，并推广到复配边、酉配边、自旋配边等理论的研究。1956年他证明7维球面上存在多种微分结构而引起轰动，由此开创微分拓扑学的新纪元。接着他与瑞士数学家刻维尔（A.Kervaire）得出高维球面上微分结构群的结构，他提出的换球术成为研究高维流形的基本方法。1964年他证明微分流形的切丛和庞特里亚金示性类不是拓扑不变量。他在1961年首先举出主猜想的反例，系统建立怀特海（J.H.C.Whitehead）扰元理论，同穆尔（C.C.Moore）建立的霍普夫（H.Hopf）代数是量子群的原型。其后，他的工作涉及微分几何学、动力系统理论、代数K理论、二次型理论、代数数论等等，尤其在复超曲面理论、迭代映射等多方面有重大贡献。他是美国科学院院士，曾获美国国家科学奖章（1966），1989年获沃尔夫奖。
阿蒂亚1929年4月22日生于伦敦。1949年入剑桥三一学院学习，1952年毕业，1955年获博士学位，1954—1958年任研究员，1958— 1961年任讲师。1961年去牛津大学任高级讲师，1963—1969年任塞维尔几何讲座教授。1969—1972年任美国普林斯顿高等研究院数学教授。1973年回牛津任皇家学会研究教授。1990年回剑桥任三一学院院长。
阿蒂亚的最重大贡献是同辛格在1963年证明了指标定理，把拓扑不变量通过解析不变量来表示。由这个定理可以推出许多数学上的重要定理，其证明也涉及数学上诸多领域，特别是偏微分算子和他参与建立的K理论。K理论是第一个重要的广义上同调理论，有广泛应用，英国拓扑学家亚当斯（J.Adams）曾用来解决球面上独立向量场的数目问题。到1970年代阿蒂亚启动新一轮研究，即规范理论和拓扑与几何关系，进而导致20世纪最后25年低维拓扑及几何和理论物理如量子场论与弦论的奇妙关系的发现，它把拓扑、几何和物理都带到一个全新的境界。
阿蒂亚是英国伦敦皇家学会会员，美国国家科学院和法国科学院外籍院士，1983年获爵士称号。1990—1995年任皇家学会会长，1990年他任新建牛顿数学科学研究所首任所长，在这些位置上对科学政策、教育与研究方向发挥重大作用。
斯梅尔1930年7月15日生于密歇根州弗林特。1948年入密歇根大学学物理，后转为数学，1952年毕业，1953年获硕士学位，1956年获博士学位。其后在芝加哥大学任讲师，并在普林斯顿高等研究院作研究，1961—1964年任哥伦比亚大学教授，1964年起任加利福尼亚大学伯克利分校教授， 1998年任香港市立大学教授。
斯梅尔早期工作是关于流形的浸入问题，特别是他发现了不弄破球面而把里面翻到外面的方法。他最大的成就是证明5维及5维以上的庞加莱猜想，即一个与Sn （n维球面）具有相同同调群的单连通闭n维流形一定与Sn同胚（n≥5）。而原来n=3的庞加莱猜想至今尚未解决，成为21世纪最大难题之一(众所周知，这个难题已经被Perelman所解决）。1960年以后他开始研究微分动力系统，通过拓扑方法奠定这门科学的理论基础，这理论其后获得飞速发展（如混沌理论）。他还研究数理经济学、计算复杂性理论、非线性泛函分析以及在物理学、生物学等方面的应用，成为当代最有影响的数学家之一。他获得过多种荣誉，如1965年获美国数学会维布仑（Veblen）几何学奖。1970年，他当选为美国国家科学院院士。
前苏联数学家诺维科夫1938年3月20日生于高尔基城，父母都是杰出的数学家。1955年进入莫斯科大学数学力学系学习，1960年毕业后到数学研究所当研究生，1964年获副博士学位，1965年获博士学位，其后回莫斯科大学任教授。1971年以后，他转向理论物理，任科学院理论物理研究所数学室主任。到戈尔巴乔夫时代，他才获准出国访问，1992年后定期在美国马里兰大学任教。
诺维科夫在1970年获奖之前工作方向主要是拓扑：研究稳定同伦群的计算以及复配边理论，证明3维流形上余维1的叶状结构一定存在紧叶。他最大的贡献是证明单连通流形有理庞特里亚金示性类的拓扑不变性（注意：庞特里亚金示性类不是拓扑不变的！），还对5维及5维以上单连通光滑流形进行微分同胚的分类。他引入高阶符号差并提出诺维科夫猜想，推动了其后拓扑学的发展。1971年以后他研究数学物理学，特别是研究弧子解的周期性及其与黎曼曲面和θ函数的关系，完全可积系统的哈密顿力学，量子力学与量子场论中一些拓扑不变量等。诺维科夫早在1966年就当选为苏联科学院通讯院士，1981年当选为院士，1994年被选为美国科学院国外院士。
奎伦于1940年4月22日生于美国新泽西州奥兰治。1961年大学毕业后到哈佛大学随拓扑学家博特（R.Bott，也是斯梅尔的博士导师，2000年沃尔夫奖获奖者）做博士论文，1964年获博士学位。此后他一直在麻省理工学院任教，1971年起任教授。他是美国科学院院士。
奎伦的工作继续前人的工作：首先在米尔诺和诺维科夫的复配边理论中，发现其结构与形式群的关连，其后解决拓扑K理论的亚当斯猜想，在同伦理论中引入有理同伦理论及其重要工具，微分分次代数（DGA）以及极小模型。他的巨大贡献在于运用拓扑思想解决代数及其他领域中的问题，其中最重要的是系统建立代数K理论，现在已成为庞大分支。另一个重要成就是证明塞尔的猜想：多项式环上的射影模必是自由模。正如前面几位大师一样，奎伦最近的研究也与物理有关，这涉及当前的热门：黎曼曲面的参模空间，其上的向量丛等等，它们与规范理论***论有关。
低维拓扑学的振兴
瑟斯顿于1946年10月30日生于华盛顿。1967年在佛罗里达州的萨拉索塔新学院获生物学学士学位，后去加利福尼亚大学伯克利分校读数学研究生， 1972年获博士学位。在麻省理工学院工作一年，1973年任普林斯顿大学教授。1992—1997年任伯克利数学科学研究所所长，其后到加利福尼亚大学戴维斯分校任教授。
瑟斯顿的主要贡献是闭3维流形的分类。他把3维流形分解为“素”流形的连通和，然后提出一个分类纲领，即每一种素流形都具有8种几何结构的一种，他完成了这个纲领的大部分。他还对泰希米勒空间、克莱因群、动力系统等理论得出重大成果，在拓扑学方面对叶状结构理论以及证明史密斯（P.Smith）猜想做出贡献。他是美国科学院院士，获得1976年美国数学会维布仑奖。
弗里德曼1951年4月21日生于洛杉矶，1968年在伯克利分校读一年之后，去普林斯顿大学读博士，1973年获博士学位，其后在伯克利任讲师。 1976年到加利福尼亚大学圣迭戈分校任助理教授、副教授，1982年起任教授。1984年当选为美国科学院院士，1987年荣获美国国家科学奖章。
弗里德曼的主要贡献是打破4维流形的禁区，在1981年率先证明了4维庞加莱猜想，而且完成4维单连通流形的拓扑分类，他的主要结果是任何整系数公模二次型都是某4维流形的交截形式。他的工作直接影响唐纳森进一步的结果。到1990年代，他的方向转向应用拓扑学与物理学，特别是等离子体物理和磁流体力学。
唐纳森于1957年8月20日生于剑桥。1976年入剑桥大学彭布罗克学院学习，1979年毕业。1980年到牛津大学伍斯特学院读研究生，1983年获博士学位，其后在牛津大学万灵学院任初级研究员。1985年以后任牛津大学沃利斯（Wallis）数学讲座教授。
唐纳森的数学工作紧随弗里德曼。他证明光滑单连通4维流形如具有正定交截形式，则可以化为整数系数的对角形式。结合弗里德曼的工作，由此得出惊人结果：4 维流形上可以存在不同的微分结构。尤其是4维欧氏空间上存在着不可数无穷多种微分结构。更令人惊异的是他的结果建筑在拓扑与规范理论的奇妙的联系之上，这引发后来不可思议的发展。
琼斯于1952年12月31日生于新西兰吉斯伯恩。1970年入奥克兰大学，1973年毕业。1974年到瑞士日内瓦进修，先学两年物理，后来师从拓扑学家黑富利格尔（A.Haefliger）学数学，1979年获博士学位。1975—1980年间同时任日内瓦大学助教。1980年赴美，1981年在宾州大学任教，1985年起任加利福尼亚大学伯克利分校教授。
琼斯的重要贡献在于引入分类纽结与链结的不变量——琼斯多项式。从1928年美国拓扑学家亚历山大（J.Alexander）得出分类纽结的亚历山大多项式以来，这一领域50多年进步不大，直到1984年琼斯得出他的多项式。有趣的是，他是通过冯 诺伊曼（J.von Neumann）代数来构造多项式的，这种联系完全难以想象。琼斯多项式在一两年内得到快速推广，先后得出HOMFLY多项式和考夫曼（L.Kauffman）多项式，最后得到瓦希里耶夫（V.Vassiliev）不变量。几年之内，纽结理论成为一大热门。琼斯多项式的意义还不限于纽结理论，它与3维拓扑学以及物理领域有密切关系。
威滕于1951年8月26日生于马里兰州。他在布兰迪斯大学学习历史和经济学，1971年毕业，曾参加1972年总统竞选事务。其后到普林斯顿大学学习物理，1974年获硕士学位，1976年获博士学位。而后在哈佛大学作研究工作，1980年任普林斯顿大学物理教授。1987年起任普林斯顿高等研究院物理教授。
威滕物理学家的身份曾引起许多数学家对他数学工作的疑虑，但阿蒂亚据理力争，他认为很少数学家具有威滕的数学能力。威滕的目标是建立大统一理论，他的方法很大程度是拓扑的，特别是他对莫尔斯理论、德 拉姆（de Rham）和霍奇（Hodge）理论，尤其是指标定理给出新的表述及证明。他给出威滕不变量，结果以琼斯不等式、弗洛尔（A.Floer）不变量和唐纳森不变量为其特殊情形。1990年代威滕的工作更为辉煌：一是在1994年同塞伯格（N.Seiberg）引入塞伯格－威滕不变量，这通过解线性方程可以计算的不变量使得过去许多不变量相形见绌。二是在1998年建立M理论、统一不同形式的弦论成为完整的框架。他已经发表200多篇论文，被誉为当代最有影响的物理学家之一。追根溯源，这些都来自拓扑学的威力。
