导体线面连接问题中奇异函数积分的计算 |
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导体线面连接问题中奇异函数积分的计算
宗卫华 万继响 梁昌洪
（西安电子科技大学 天线与微波技术重点实验室，西安 710071）
摘 要：在线面连接问题中，电流展开函数包含体展开函数、线展开函数和连接点展开函数三类。求解电场积分方程的积分项是电流基函数及其散度分别与自由空间格林函数的乘积，由于连接点展开函数含有一个奇异点，所以被积函数中含有两个奇异点。本文通过积分变换消除了奇异点，并将二重积分化为一重积分，使计算精度得到提高。计算实例验证了本文方法的正确性。
关键词：导体线面连接系统， 三角形面元， 积分变换， 奇异积分
Computation of Singular Integration for Analyzing a System of Conducting Bodies Interconnected by Wires
Zong Weihua, Wan Jixiang, Liang Changhong
(Key Laboratory of Antenna and Microwave Technology, Xidian University, Xi’an 710071)
Abstract: When analyzing a system of conducting bodies interconnected by wires, the current expansion functions consist of three classes, body expansion functions, wire expansion functions and junction expansion functions The integral term of electric field integral equation (EFIE) is the 3D Green's function multiplied by the current expansion function or its divergence With one singular kernel in the junction expansion function, there are two singular kernels in the singular integral term As a result of change of variables in integrals, the singularity points are removed, and then the double integrals are reduced to integral of one variable Therefore the remaining function is continuously differential and suited for numerical integrals Sample computations are given to validate this method
Key words: System of conducting bodies interconnected by wires， Triangular patch， Change of variables in integrals， Singular integral
引言
应用矩量法求解电磁场积分方程的关键技术是基函数的选取。文献［1］采用平面三角形面元模拟任意形状的表面，电流基函数满足表面无剩余电荷的物理特性，在计算导体的散射与辐射问题中得到广泛应用。MFCosta在RWG基的基础上解决了导体与连接线问题［2,3］，其中导体面采用平面三角形划分，导线采用直线段划分。电流基函数有三种：（1）体展开函数，采用RWG基；（2）线展开函数，采用脉冲函数；（3）连接点展开函数，分两部分，其中与连接点相关的导线部分为脉冲函数，三角形面元部分为非线性函数，使得连接点处满足基尔霍夫电流定律。
电场积分方程的被积函数是电流基函数及其散度分别与自由空间格林函数的乘积，一般情况下采用数值方法求积分。考虑自作用时，格林函数中含有奇异点R=0，虽然数值方法能够求奇异值积分［4］，但从计算的效率和精度的角度，还是希望事先消除奇异点。对于体展开函数以及线展开函数与乘积的积分奇异性已经解决［5～7］。而连接点展开函数含有奇异点ρ=0（R与ρ的定义见本文1.1节），它与乘积的奇异积分计算目前尚无文献报导，本文通过积分变换消除了奇异点，并将二重积分化为一重积分，便于工程计算。数值实例部分验证了本方法的正确性。
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1基本理论
1.1含有奇异点的积分
由于电流展开函数采用分域基，所以电场积分方程中的基本积分单元为
积分域是与第k个连接点相关的第n个三角形面元A1A2A3（参见图1），s代表其面积，向量r1、r2、r3分别代表三角形三个顶点，l1、l2、l3代表三条边长。r代表场点A，考虑自作用时，A点位于三角形A1A2A3内部，并将三角形分割成三个子三角形，面积分别为s1、s2、s3。式（3）和式（4）中的atk为与第k个连接点
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可见式（1）和式（2）中的被积函数都含有奇异点R=0和ρ=0。
1.2积分变换消除奇异点
在面积坐标系下
其中，φ2代表三角形顶点A2的顶角，φ代表ρ与A2A1形成的角。这样
其中，d=Hsec(φH-φ)，H代表A1A3边上的高A2B，φH代表A2B与A2A1形成的角（参见图2）。
将式（7）（8）代入式（5）得
结合式（3）和（4）将式（10）和（11）代入式（1）和（2）得
lc代表三角形顶点A2与重心C之间距离A2C，c代表A2C与A2A1形成的角（参见图3）。可见式（12）、式（13）中的被积函数仅含有一个奇异点R=0，通过积分变换消除了奇异点ρ=0。
1.3奇异点R=0的消除
为了积分方便我们将式（12）和（13）写为以下形式
可见，I12、I22的被积函数的奇异性取决于F1(φ)、F2(φ)、F3(φ)的奇异性，我们利用文献［8］积分公式
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其中，显然F1(φ)、F2(φ)、F3(φ)中不含有奇异点，从而I12、I22的被积函数中不含有奇异点。可以采用数值方法求式（15）、式（16）的二重积分和式（17）、式（18）的一重积分。
2 数值实例
利用上述方法处理积分编制的程序表明积分结果十分稳定，矩阵求解时数值也很稳定，以下计算实例说明了本文方法的正确性。
首先计算了图4所示结构天线的输入阻抗，图5是输入电阻，图6是输入电抗，将本文计算结果与文献［9］的测量值以及文献［2］的计算值比较，三者基本吻合，而在电阻以及电抗的峰值点，本文结果更接近测量值。
接着计算了图7所示结构天线工作频率为300MHz的归一化方向图，图8是天线在θ=π/2平面的方向图，图9是φ=0平面的方向图，与ANSOFT仿真结果一致。
3 结论
本文针对RWG分析导体与连接线问题中包含连接点电流展开函数的积分奇异性，通过积分变换消除了奇异点，并将二重积分化为一重积分，便于工程计算。数值实例部分验证了本方法的正确性。
参考文献
〔1〕Rao S M, Wilton D R, Glisson A W Electromagnetic Scattering by Surfaces of Arbitrary Shape［J］ IEEE Trans on Antennas and Propagation, 1982, 30(5): 409～418
〔2〕Costa M F Electromagnetic Radiation and Scattering from a System of Conducting Bodies Interconnected by Wires［D］ PhD dissertation, Syracuse University, 1983
〔3〕Costa M F, Harrington R F Minnimization of Radiation Scattering from computer Systems［C］ Pro Int Electrical Electronics Conf, Toronto, Canada, Sept 1983:660～665
〔4〕Zienkiewicz O C The Finite Element Method in Engineering Science McGrawHill Book Company［M］ New York, 1971
〔5〕Wilton D R, Rao S M, Glisson A W et al Potential integrals for uniform and linear source distributions on polygonal and polyhedral domailns［J］ IEEE Trans on Antennas and Propagation, 1984, 32(3): 276～278
〔6〕Graglia R D On the numerical integration of the linear shape functions times the 3D green's function or its gradient on a plane triangle［J］ IEEE Trans on Antennas and Propagation, 1993, 41(10): 1448～1455
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