德?摩根
德?摩根﹝Augustus De Morgan﹞，英国数学家、逻辑学家。 1806年6月27日出生于印度马都拉，1871年3月18日于伦敦逝世。
他于1823至1827年间入读剑桥大学三一学院，1828年，他的老师如皮科克等人，推廌他任伦敦大学学院数学教授一职，至1831年辞职，1836至1866年则继续留任该职。 1865年，他积极筹备伦敦数学会，1866年担任任第一任会长。
德?摩根主要分析学、代数学、数学史及逻辑学等方面作出重要的贡献。他的工作，对当时19世纪的数学具有相当的影响力。
在分析学方面，德?摩根给出了形如﹝无穷﹞级数的收敛性判别准则，即，当e>1时，级数收敛﹝converge﹞，当e≦1时，级数发散﹝ diverge﹞。
在代数学方面，他认为：「代数学实际上是一系列『运算』，这种『运算』能在任何符号﹝不一定是数字﹞的集合上，根据一定的公式来进行」。他这种新的数学思想，使代数得以脱离算术的束缚。此外，他提出的「双重代数」，对建立复数性质的几何表示有一定的帮助。
德?摩根对数学史亦十分精通，曾为牛顿及哈雷作传，并制作了17世纪科学家的通讯录索引。此外，他在算术、代数、三角等方面亦撰写了不少教材，主要著作有《微积分学》﹝1842﹞及《形式逻辑》﹝1847﹞等。他亦是最早试图解决四色问题的人，并对四色问题作了一些推进。
至于在逻辑学方面，他发展了一套适合推理的符号，并首创了关系逻辑的研究。他提出了论域概念，并以代数的方法研究逻辑的演算，建立出著名的德?摩根定律，即(A∩B)'=A'∪B'，(A∪B)'=A'∩ B'。这亦成为后来布尔代数的先声。他更对关系的种类及性质加以分析，对关系命题及关系推理有所研究，从而推出一些逻辑的规律及定理，突破古典的主谓词逻辑的局限，这些均影响到后来数理逻辑的发展。
人物小传
泰勒斯﹝Tales of Miletus﹞
约公元前625-前547，古希腊
古希腊哲学家、自然科学家。生于小亚细亚西南海岸米利都，早年是商人，曾游历巴比伦、埃及等地。泰勒斯是希腊最早的哲学学派──伊奥尼亚学派的创始人，他几乎涉猎了当时人类的全部思想和活动领域，被尊为『希腊七贤』之首。而他更是以数学上的发现而出名的第一人。他认为处处有生命和运动，并以水为万物的本源。
泰勒斯在数学方面的划时代贡献是开始引入了命题证明的思想，它标志着人们对客观事物的认识从经验上升到理论。这在数学史上是一次不寻常的飞跃，其重要意义在于：
保证命题的正确性，使理论立于不败之地；
揭露各定理之间的内在联系，使数学构成一个严密的体系，为进一步发展打下基础；
使数学命题具有充份的说服力，令人深信不疑。
数学自此从具体的、实验的阶段过渡到抽象的、理论的阶段，逐渐形成一门独立的、演译的科学。
证明命题是希腊几何学的基本精神，而泰勒斯是希腊几何学的先驱。在几何学中，下列的基本成果归功于他：
圆被任一直径所平分；
等腰三角形的两底角相等；
两条直线相交，对顶角相等；
已知三角形两角和夹边，三角形即已确定；
对半圆的圆周角是直角；
相似三角形对应边成比例等等。
泰勒斯在埃及时还曾利用日影及比例关系算出金字塔的高，说明相似形已有初步认识。在天文学中他曾精确地预测了公元前585年5月28日发生的日食，还可能写过《航海天文学》一书，并已知按春分、夏至、秋分、冬至划分四季是不等长的。
人物小传
帕斯卡
帕斯卡﹝Pascal, Blaise,1623-1662﹞，1623年6月19日出身于克莱费朗，1662年8月19日逝世于巴黎。他是一位法国数学家、物理学家及思想家。他的父亲也是一位数学家，并且是当时「梅森学会」的成员，因此对他的早期教育有很大的影响。
帕斯卡自幼已十分聪颖，而且求知欲强，12岁便开始学习几何，并通读欧几里得《几何原本》。 16岁便发现了著名的帕斯卡六边形定理。 17岁时，更完成了有关研究德扎格射影几何工作﹝1636,1639﹞心得的论文《圆锥曲线论》，内容包括了帕斯卡六边形定理。这项工作是自希腊阿波罗尼奥斯以来，对圆锥曲线论研究的最大进步。
1642年，他设计并制作了世界上第一台能自动进位的加减法计算装置，被称为是世界上第一台数字计算器，这为日后的计算机设计提供了基本的原理。
自1654年开始，他主力向几方面的数学问题加以研究，在无穷小的分析上，深入探讨其不可分的原理，得出了求不同曲线所围面积和重心的一般方法，并以微积分的原理解决摆线问题，于1658年，著成了《论摆线》。而他的手稿论文对于莱布尼兹建立微积分有什大的启发。
在研究二项式系数性质时，写成《论算术三角形》向巴黎科学院提交，后来收入他的全集，于1665年发表当中给出「帕斯卡三角形」，但实际上这已由中国贾宪在约1100年发现了。
帕斯卡对早期概率论的发展亦有颇大的影响，这源于他与费马在通信中讨论赌金分配问题。此外，在1646年，他还制作了水银气压计，于1651至1654年间，写作了液体平衡、空气的重量和密度等论文。
自1655年起，帕斯卡便隐居于修道院，并写下《思想录》﹝1658﹞等经典著作。
人物小传
高斯（Gauss, Carl Friedrich, 1777-1855）
德国数学家、物理学家、天文学家。 1777年4月30日生于不伦瑞克，1855年2月23日卒于格丁根。高斯是近代数学奠基者之一，在历史上影响之大，可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列，有「数学王子」之称。他幼年时就表现出超人的数学天才。 1795年进入格丁根大学学习。第二年他就发现正十七边形的尺规作图法。并给出可用尺规作出的正多边形的条件，解决了欧几里得以来悬而未决的问题。 1798年转入黑尔姆施泰特大学，1799年获博士学位。 1807年以后一直在格丁根大学任教授。
高斯的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都做出了开创性的贡献。他还把数学应用于天文学、大地测量学和磁学的研究，发明了最小二乘法原理。高理的数论研究总结在《算术研究》（1801）中，这本书奠定了近代数论的基础，它不仅是数论方面的划时代之作，也是数学史上不可多得的经典著作之一。高斯对代数学的重要贡献是证明了代数基本定理，他的存在性证明开创了数学研究的新途径。
高斯在1816年左右就得到非欧几何的原理。他还深入研究复变函数，建立了一些基本概念发现了著名的柯西积分定理。他还发现椭圆函数的双周期性，但这些工作在他生前都没发表出来。 1828年高斯出版了《关于曲面的一般研究》，全面系统地阐述了空间曲面的微分几何学，并提出内蕴曲面理论。高斯的曲面理论后来由黎曼发展。
高斯一生共发表155篇论文，他对待学问十分严谨，只是把他自己认为是十分成熟的作品发表出来。其著作还有《地磁概念》和《论与距离平方成反比的引力和斥力的普遍定律》（1840）等。
人物小传
笛卡儿﹝Descartes, Rene du Perron, 1596-1650﹞
笛卡儿是法国著名的哲学家、数学家、物理学家及自然科学家。他于1596年3月31日出生于图伦一贵族家庭。童年就读于拉弗莱什公学时，因体弱多病，被允早晨在床上读书，渐渐养成一种喜爱宁静，擅于思考的习惯。在校内更结织了密友梅森。
1612年，他到巴黎普瓦捷大学供读法律，四年后获颁博士学位，并成为律师。当时法国社会的有志之士，不是致力宗教，便是献身军事，这种风气甚为盛行，这驱使笛卡儿于1618年往荷兰从军。服役期间，他仍对数学感兴趣。某日休息，他在街上散步时受一荷兰文招贴所吸引，但因不懂荷兰文，于是请身边的人译成拉丁文或法文。恰巧这人是多特学院院长毕克门。经此翻译，笛卡儿才得悉这是一张当时数学家所下的「挑战书」，广征上列难题答案。笛卡儿竟在数小时内求得答案，使毕克门大为佩服。
1621年，笛卡儿脱离军队返法，但适逢内乱，于是游历于丹麦、德国、意大利等地。直至1625年才返回法国，与梅森等人一起研讨数学。 1628年移居荷兰，并通过数学家梅森神父，与欧洲主要学者保持密切联络。闲时更从事数学、天文学、物理学、化学及生理学等领域的研究。他所有著作几乎全是在荷兰完成的。他的主要著作有《指导哲理之原则》﹝1628年写成﹞，以哥白尼学说为基础之《论世界》﹝1634年完成，但因伽利略受教会迫害而未出版﹞，《方法论》﹝1637年6月8日于莱顿匿名出版﹞，《形而上学的沉思》及《哲学原理》﹝1644年出版﹞。
1649年冬，他应邀到斯德哥尔摩为瑞典女皇克利斯提娜授课。最后，这位以创立解析几何而闻名的数学家因肺炎于1650年2月11日在当地病逝。
笛卡儿早在读书时期，已怀疑和反对统治欧洲思想界的经院哲学。多年来的游历与多方面的科学研究，加上与社会各阶层人士之交往及不断的自我反思，使他坚信必须抛弃经院哲学，探求正确思想方法，创立为实践服务的哲学，「才可成为自然的主人与统治者」。他认为数学是其他一切科学之理想与模型，提出了以数学为基础，以演绎法为核心的方法论及认识论，成为西方近代哲学创始人之一，对后世的哲学、数学及自然科学起了巨大作用。而且他还一直为捍卫他的学说而和教会及其他反对势力抗衡。
此外，他于1637年以法文写成的《方法论》﹝最早的一部著作﹞，附设三短论及一篇序言分别为：《折光学》、《气象学》、《几何学》及《科学中正确运用理性和追求真理的方法论》。当中以《几何学》为代表作，亦因此确立了他于数学史上之地位。这亦是他唯一的数学论著。全书共分三卷，内容分析了几何学与代数学的优劣，表示要寻求另一种包含两者好处而没有两者劣处的方法。
在卷一中，他把几何问题化作代数问题，提出几何问题的统一作图法：以单位线段及线段的加、减、乘、除、开方等概念，将线段和数量联系起来，通过线段间的关系设立方程。
在卷二中，他以这新方法解决帕普斯问题时，在平面上以一直线为基线，为它规定一起点及选定与之相交的另一直线，三项分别为x轴，原点及y轴，形成一个斜座标系。此时，该平面上的任何一点位置均可以﹝x，y﹞唯一地表示。帕普斯问题便化为一含两个未知数的二次不定方程。他指出方程的次数与座标系的选择无关，因此可依方程的次数将曲线分类。
在卷三中，他指出方程可有与它的次数一样多的根，且提出笛儿符号法则：方程正根的最多个数等同其系数变号的次数；其负根﹝假根﹞的最多个数等同符号不变的次数。笛卡儿还以a，b、c，……表示已知量及x，y，z，……表示未知量去改进韦达所创的符号系统。
《几何学》提出了解析几何学之主要思想与方法，这标志着解析几何学之诞生。
笛卡儿毕生专注于各项知识部门的研究，为人类的科学宝库带来丰厚的成果，对后世的研究影响深远。
人物小传
华罗庚﹝公元1910-1985年﹞
1910年11月12日生于江苏省金坛县，1985年6月12日在日本东京逝世。 1924年初中毕业后，华罗庚在上海中华职业学校学习不到一年，因家贫辍学，刻苦自修数学。 1930年在《科学》上发表了关于代数方程式解法的文章，受到熊庆来的重视，被邀到清华大学工作，在杨武之﹝杨振宁的父亲﹞指引下，开始了数论的研究。
华罗庚是国际上享有盛誉的数学家，在解析数论、矩阵几何学、典型群、自守函数论、多复变函数论、偏微分方程、高维数值积分等广泛数学领域中都作出卓越贡献。
华罗庚还根据中国实情与国际潮流，倡导应用数学与计算机研制。他身体力行，亲自去二十七个省市普及应用数学方法长达二十年之久，为经济建设作出了重大贡献。华罗庚更对数学教育非常重视，在他影响或指导下成为著名数学家，实不胜枚举。
人物小传
罗素﹝Russell, Bertrand Arthur Willian, 1872-1970﹞
英国数学家、逻辑学家。 1875年5月18日生于蒙茅斯郡特里莱克，1970年2月2日卒于威尔士的普拉斯彭林。早期接受家庭教育，1890年入剑桥大学三一学院学习数学和哲学。 1895年以论文《论几何学基础》获得剑桥大学研究员资格。 1900年罗素接触到布尔和皮亚诺的符号逻辑，1901年开始与怀特海合作，试图用逻辑将全部数学推出来，经过10年的奋战，写成三大卷的《数学原理》。这部著作对数理逻辑的发展产生了重要影响，也使罗素本人获得了崇高的声誉。在写这部书的过程中，他提出了著名的「罗素悖论」，这对20世纪初关于数学基础的论战产生过极大影响，导致第三次数学危机。
罗素还是本世纪最有影响的哲学家之一，其学术活动除数学外，还涉及物理学、历史、文学、宗教、政治和教育等多方面。 1911年当选为亚里士多德学会会长。 1918年因反战而被监禁。 1920年应邀来中国讲学一年，他盛赞中国的传统文明，并希望中国能创造一种新文化，以弥补西洋文化之不足。 1950年获诺贝尔文学奖。 1964年创立罗素和平基金会。
人物小传
皮亚诺(Giuseppe Peano 1858－1932)
意大利数学家、逻辑学家。 1858年8月27日生于意大利库内奥附近斯平里塔。 1932年4月20日卒于都灵。 1876年入都灵大学学习，于1880年毕业。留校任教，后升级为教授。
皮亚诺是研究数理逻辑和数学基础的先驱，。他试图用他的逻辑符号表达各种数学思维。罗素认为皮尔诺这一发现，推动了他关于数学原理的观点的发展。
他曾从不加定义的「集合」、「自然数」、「继数」与「属于」等概念出发，给出了关于自然数的五条公理。
1. 0是一个自然数。
2. 0不是任何其他自然数的继数。
3.每一个自然数a都有一个继数。
4.如果a与b的继数相等则a与b亦相等。
5.若一个由自然数组成的集合s包含有0，又若当s包含有某一数a时，它一定也含有a的继数，则s就包含有全体自然数。
易见，上列第5项即为数学归纳法公理。
这一公理系统标志着当时数学分析算术化的终结。 1887年，他在分析学中，引进了一个比较严格的容度概念，给出了曲线长度和曲面面积的严密定义，并得到所谓皮尔诺面积，皮尔诺曲线等。
人物小传
拉普拉斯（Laplace, Pierre-Simon, 1749-1827）
法国数学家、天文学家。 1749年3月23日生于诺曼底的博蒙昂诺日，1827年3月5日卒于巴黎。家境贫寒，靠邻居资助上学，显露数学才华，在博蒙军事学校读书不久就成为该校数学教员。 1767年由达朗贝尔介绍获得巴黎陆军学校数学教授职位。 1785年当选为法国科学院院士。 1795年任综合工科学校教授，后又在高等师范学校任教授。 1816年成为法兰西学院院士，次年任该院院长。主要研究天体力学和物理学，认为数学只是一种解决问题的工具，但在运用数学时创造和发展了许多新的数学方法。主要成就是：在《天体力学》（5卷1799-1825）中汇聚了他在天文学中的几乎全部发现，试图给出由太阳系引起的力学问题的完整分析解答，阐述了天体运行、地球形状、行星摄动、月离理论和三体问题等等，引入著名的拉普拉斯方程；在《概率的分析理论》（1812）中总结了当时整个概率论的研究，论述了概率在选举、审判调查、气象等方面的应用，导入「拉普拉斯变换」等。
人物小传
刘徽﹝约公元3世纪﹞
关于刘徽的生卒年代和身世履历不详，他可能是现今山东省临淄或淄川一带人。
刘徽注《九章算术》，同时又撰有《重差》一卷，《重差》后来印成单行本改称为《海岛算经》，在注文中，刘徽用语言来讲清道理，用图形来解释问题﹝析理以辞，解体用图﹞。他不是只停留在对《九章》的注释上，而是更上一层楼，在注释的同时提出了许多创造性见解，例如为阐述几何命题，证明几何定理，创造了「以盈补虚法」，更为计算圆周率提出了「割圆术」：刘徽从最简单的正六边形开始，由正192边形的面积得到π=151/50或3.14。不过他更进一步算出3.14<π<3.14，后来在另一个地方，刘徽用他的方法，继续演算到3072边形，并且得到他的最佳值──一个相当于3.14159的数。
「割圆术」是我国数学史上首次将极限概念用于近似计算。此外，刘徽的「齐同术」和「方程新术」等，是对《九章算术》方法的进一步阐述与补充。在注释《九章》的同时，刘徽深感有创立新的测量方法的必要，于是提出了重差术，撰《重差》一卷。
人物小传
棣莫弗
法国一英国数学家棣莫弗﹝De Moivre, Abraham﹞于1667年5月26日在法国维特里的勒弗朗索瓦出生。早年为法国加尔文派教徒，于新旧教斗争中遭监禁。获释后，于1685年移居英国伦敦，并一直从事家庭教师及保险业顾问等职。
他与牛顿、天文学家哈雷为友，专心研究科学。 1695年，写了有关牛顿流数术研究之论文。两年后当选为英国皇家学会会员，及后获柏林科学院与巴黎科学院院士衔头。最后不幸于1754年11月27日在英国伦敦逝世。
在数学中﹝尤其概率论方面﹞，他的贡献重大。 1711年，他写了《抽签的计量》，并在七年后修改扩充为《机遇论》发表。这是早期概率论的专著之一，当中首次定义了独立事件的乘法定理，给出二项分布公式，更讨论了许多掷骰和其他赌博的问题。
另外，他于1730年出版的概率著作《分析杂录》中使用了概率积分，得出n阶乘的级数表达式，并指出对于很大的n，n！ ~ ，但现误称为「斯特林公式」。而且此书使其成为最早使用概率积分的人。三年后，他又以阶乘的近似公式导出了正态分布的频率曲线，并作二项分布之近似。
他亦是最早给出「棣莫弗公式」：﹝cosψ iˉsinψ﹞n = cos nψ iˉsin nψ的学者之一。他虽于1722年才正式发表此公式，但实际上，已于1707年在研究三角学时得到此式。而且，他还以复数证明了求解方程Xn -1=0等同于把圆周分为n等分。棣莫弗还于1725年出版专门论著，把概率论应用于保险事业上。
人物小传
伽罗瓦﹝Galois, Evariste,1811-1832﹞
法国数学家。 1811年10月25日生于布拉伦，1832年5月31日卒于巴黎。幼时受到良好的家庭教育。 1827年开始自学勒让德、拉格朗日、高斯和柯西等人的论著，不久遇到数学教师里夏尔，他很快发现了伽罗瓦的数学才能，在他的指导下，伽罗瓦开始了数学研究。
1828-1830年，得到许多后来称为「伽罗瓦理论」的重要结果。 1830年进入高等师范学校学习，由于参加政治斗争被学校除名，并两次入狱。 1832年5月，由于政治和爱情的纠葛在一次决斗中被打死。
伽罗瓦是近世代数的创始人之一。他深入研究了一个方程能用根式求解所必须满足的本质条件，他提出的「伽罗瓦域」、「伽罗瓦群」和「伽罗瓦理论」都是近世代数所研究的最重要的课题。他的工作是19世纪数学中最杰出的成就之一。
但是伽罗瓦生前并未获得应有的荣誉。他在1829-1831年三次投到巴黎科学院的论文均被遗失或退回。在决斗前夕，他给朋友夏瓦利叶写了一封信，请求他把论文公诸于世，但没引起人们注意。直到1846年，伽罗瓦的附有刘维尔注释的手稿才公开发表。 1870年，若尔当在其著作《置换与代数方程论》中对伽罗瓦理论作了长篇论述。从此，伽罗瓦的工作才被完全理解。
人物小传
毕达哥拉斯﹝Pythagoras﹞
约公元前580-约公元前500，古希腊
希腊哲学家，数学家，天文学家，生于希腊东部萨摩斯﹝今希腊东部小岛﹞，卒于他林敦﹝今意大利南部塔兰托﹞。毕达哥拉斯早年曾在锡罗斯岛向费雷西底﹝Pherecydes﹞学习，又曾师事伊奥尼亚学派的安约西曼德﹝Anaximander﹞，以后游历埃及、巴比伦等地，接受古代流传下来的天文、数学知识。他最后定居在克罗托内﹝Crotone﹞，在那里建立一个宗教、政治、学术合一的团体──毕达哥拉斯学派，它是继伊奥尼亚学派后古希腊第二个重要的学派。这个团体后来在政治斗争中遭到破坏，他逃到塔兰托，后终于被杀害。毕氏学派有一个教规，就是一切发现都归功于学派的领袖，且对外保密，故讨论其学术成就时，很难将毕达哥拉斯本人和他的学派分开。
毕氏学派将抽象的数作为万物的本源，研究数的目的不是为了实际应用，而是通过揭露数的奥秘来探索宇宙的永恒真理。他们对数作过深入研究，并得到很多结果：将学问分为四类，即算术、音乐﹝数的应用﹞、几何﹝静止的量﹞、天文﹝运动的量﹞；根据“简单整数比”原理创造一套音乐理论；将自然数进行分类，如奇数、偶数、完全数、亲合数、三角数、平方数、五角数、六角数等等；发理勾股定理﹝西方称为毕达哥拉斯定理﹞和勾股数﹝西方称为毕达哥拉斯数﹞；发理五种正多面体；发理不可通约量。
无理数成不可通约量的发现，也许是这个学派最重大的贡献，是数学史上重要的里程碑。但这一发现却和他们的会条相抵触，它不仅推了“每一事物都依赖于整数”这一基本假定，而且因为毕氏学派关于比例的定义假定了任何两个同类量是可通放的，所以其比例理论中的所有命题都局限在可通约量上，而他们关于相似形的一般理论也因此失效了。 『逻辑上的矛盾』是如此之大，以致于有一段时间，他们费了很大的劲将此事保密，不准外传。大约在公元前370年，这个“矛盾”被毕氏学派晚期的重要成员阿尔希塔斯的学生，杰出的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。
毕达哥拉斯死后，这个学派还继续存在两个世纪之久。他的思想和学说对希腊文化有巨大的影响。
人物小传
希尔伯特﹝Hilbert，David，1862-1943﹞
德国数学家。 1862年1月23日生于柯尼斯堡，1943年2月14日卒于格丁根。 1880年入柯尼斯堡大学，1885年获博士学位。 1893年任柯尼斯堡大学教授。 1895年任格丁根大学教授，直到退休。希尔伯特是20世纪最伟大的数学家之一。他的数学贡献是巨大的和多方面的。
他解决了代数不变式问题。 1898年，他的论文《相对阿贝尔域理论》中概括地提出了类域论，后经高木贞治、阿廷等人发展成一门完整的学科。 1899年，希尔伯特在《几何基础》一书中，第一次给出了完备的欧几里得几何公理体系，奠定了现代公理化方法的基础。希尔伯特用对角线方法证明了狄利克雷原理，丰富了变分法的经典理论。希尔伯特对积分方程及无穷维空间理论也有深入的工作，建立了希尔伯特空间理论﹝1904-1912﹞，1912-1922年希尔伯特曾专注于理论物理领域，其目标是用公理化心手法整理近代物理学的重要部门，获得很多成果。 1918年以后，希尔伯特发展了早期关于几何基础的工作，其主要思想被概括为所谓「形式主义计划」。提出了证明论﹝或称元数学﹞，成为数理逻辑五大主要部门之一。
1900年，希尔伯特在巴黎举行的国际数学家会议上发表演说，提出了新世纪数学面临的23个问题﹝可参考本网页「名题与猜想」一栏内之「希尔伯特数学问题」﹞。对这些问题的研究有力地推动了20世纪数学发展的进程。
希尔伯特是一位出色的教师，讲课富有魅力，体现了重视基础和技巧的特点。希尔伯特为人正直受到普遍的尊敬。他曾拒绝在德国政府为发动第一次世界大战辩护宣言上签名，后来又对希特勒的排犹暴行表示了极大愤慨。希尔伯特的学派在纳粹统治时期遭到了严重迫害。由于希尔伯特和F?克莱因的努力，使格丁根在20世纪的30年间成为国际数学研究与教育的中心。希尔伯特生前享有很高的国际声誉，1910年荣获匈牙利科学院的
人物小传
欧几里得﹝Euclid﹞
约公元前330─约公元前275，古希腊
人们除了知道欧几里得是亚历山大里亚大学的数学教授和大名鼎鼎的、历时长久的亚历山大里亚数学学派的奠基人外，对他的生平所知甚少，仅估计他很可能在雅典的柏拉图学园受过数学训练。
公元前300年左右，在托勒密王﹝PtolemyI.公元前364─前283，托勒密王国的创建者，公元前323─前285在位﹞的邀请下，来到亚历山大，长期在那里工作。他是一位温良敦厚的教育家，对有志数学之士，总是循循善诱。但反对不止刻苦钻研、投机取巧的作风，也1反对狭隘实用观点。
据普罗克洛斯﹝约410─485﹞记载，欧几里得曾给托勒密王讲授几何学。这位国王曾问欧几里得说，除了《几何原本》之外，还有没有其他学习几何的捷径。欧几里得就用『几何无王者之道！ 』﹝There is no royal road to geometry﹞的话回答，意思是：『在几何里，没有专为国王铺设的路。 』这话后来推广为『求知无坦途』，成为传诵千古的学习箴言。
斯托贝乌斯﹝约500﹞记述了另一则故事，说一个学生才开始学第一个命题，就问欧几里得学了几何学之后将得到些什么。欧几里得说：『给他三个钱币，因为他想在学习中获取实利。 』
欧几里得的《几何原本》﹝Elements﹞，以下简称《原本》，是一部划时代的著作，就其大部份内容来说，是对于公元前七世纪以来，希腊几何积聚起来的丰富成果作出高度成功的编纂和系统的整理，其主要功绩在于对命题的巧妙选择，和把它们排列进由少数初始假定出发，演绎地推导出的合乎逻辑的序列中。换言之，《原本》伟大的历史意义在于它是用公理方法建立起演绎体系的最早典范。
《原本》的内容：
第一卷很自然地是从必要的初步的定义、公设和公理开始；
第二卷讨论面积的变换和毕氏学派的几何式代数；
第三卷包括中学几何课本中许多关于圆、弦、割线、切线及有关角的量度的定理；
第四卷讨论用直尺和圆规作正三角形、正四、五、六和十五边形，以及在给定圆内﹝外﹞作这些内接﹝外切﹞正多边形；
第五卷是对欧多克索斯比例理论的精彩阐述；
第六卷把欧多克索斯的比例理论应用于平面几何；
第七、八、九卷讲的是初等数论；
第十卷讨论无理数；
第十一、十二、十三卷讲立体几何──关于空间中的直线和平面的定义、定理，以及关于平行六面体的定理，可在第十一卷找到；穷竭法在第十二卷论述体积时起重要作用；在第十三卷研究了五种正多面体。
除了《几何原本》之外，他还有不少著作，可惜大部份已失传。 《已知数》是除《原本》之外唯一保存下来的他的希腊文纯粹几何著作，体例和《原本》前六卷相近，包括九十四个命题，指出若图形中某些元素已知，则另外一些元素也可以确定。 《图形的分割》现存拉丁文本与阿拉伯文本，论述用直线将已知图形分为相等的部份或成比例的部份。 《光学》是早期几何光学著作之一，研究透视问题，叙述光的入射角等于反射角，认为视觉是眼睛发出光线到达物体的结果。还有一些著作未能确定是否属于欧几里得，而且已经散失。
人物小传
牛顿（Newton, Isaac, 1643-1727）
英国数学家、物理学家、天文学家、自然哲学家。 1643年1月4日生于林肯郡伍尔索普，1727年3月31日卒于伦敦。早年在格兰瑟姆读书，1661年以优异成绩考入剑桥大学三一学院，数学上受教于巴罗。 1664年毕业后曾为躲避鼠疫回乡，1665-1666年间做出流数术、万有引力和光的分析三大发明，年仅23岁。 1667年回剑桥在三一学院执教。 1669年继巴罗之后任卢卡斯数学教授职位。晚年致力于哲学和公务，1696年任造币厂监督，3年后任厂长。 1703年当选为皇家学会主席。
他在数学上以创建微积分而著称，其流数法始于1665年，系统叙述于《流数法和无穷级数》（1671年完成，1736年出版），首先发表在《自然哲学之数学原理》（1687）中。其中借助运动学中描述的连续量及其变化率阐述他的流数理论，并创用字母上加一点的符号表示流动变化率。討論的基本問題是：已知流量間的關係，求它們的流數的關係以及逆運算，確立了微分與積分這兩類運算的互逆關係，即微積分基本定理。
此外他還論述了有理指數的二項定理（1664）、數論、解析幾何、曲線分類、變分法等問題。
在物理學上發現了萬有引力定律（1666-1684），並據此指出行星運行成橢圓軌道的原因。 1666年用三棱鏡實驗光的色散現象，1668年發明並親手製作了第一具反射望遠鏡。
在哲學上深信物質、運動、空間和時間的客觀存在性，堅持用觀察和實驗方法發現自然界的規律，力求用數學定量方法表述的定律說明自然現象，其科學研究方法支配後世近300年的物理學研究。
人物小傳
柯西（Cauchy, Augustin - Louis, 1789-1857）
法國數學家、力學家。 1789年8月21日生於巴黎， 1857年5月23日卒於索鎮。 1805年入巴黎綜合工科學校學習，兩年後轉到橋樑工程學校，1809年成為工程師。 1813年放棄工程師的職業，從事理論科學研究。 1816年成為巴黎綜合工科學校教授，並當選為法國科學院院士。 1830年，查理十世被逐，柯西拒絕效忠新的國王，因此失去所有職務，並流亡國外。在此期間，曾任原國王查理十世的家庭教師。 1848年恢復綜合工科學校教授職務， 並任巴黎大學教授。
柯西在大學期間，就開始研讀拉格朗日和拉普拉斯的著作。柯西最重的數學貢獻在微積分、複變函數和微分方程等方面。他發現並闡明了級數收斂準則和一些判別法，提出關於極限論的ε－方法，把整個極限過程用不等式描述，後來經改進形成ε－δ（ε－Ｎ）方法沿用至今。他還給出了如今通用的函數連續性的概念，給出定積分的第一個確切定義，以及廣義積分的定義等。在複變函數論方面，他系統地總結了複數理論，探討了柯西－黎曼條件，建立了柯西積分定理和公式，還研究了留數定理。在微分方程方面，柯西深入考察了解的存在唯一性定理等。
此外，柯西對力學和天文學也有許多貢獻。著作甚豐，共出版了七部著作和800多篇論文，以《分析教程》（1821）和《關於定積分理論的報告》（1827）最為著名。 1882年開始出版他的全集，至1970年已達27卷之多。
人物小傳
陳省身﹝公元1911-﹞
1911年10月26日生於中國浙江嘉興，1926年入天津南開大學數學系，先後受教於姜立夫與孫鎕，由他們引導至微分幾何這一領域。 1934年赴漢堡就學於當時德國幾何學權威WJE布拉施克，1936年完成博士論文後，赴法國跟從當代微分幾何學家E.喜當﹝Cartan﹞繼續深造。
1937年回國，正值抗日戰爭期間，他任教長沙臨時大學和西南聯合大學，在此期間，他把積分幾何理論推廣到齊性空間。 1943-1945年在普林斯頓高等研究所工作兩年，先後完成了兩項劃時代的重要工作，其一為黎曼流形的高斯──博內一般公式，另一為埃爾米特流形的示性類論。在這兩篇論文中，他首創應用纖維叢概念於微分幾何的研究，引進了後來通稱的陳示性類，為大範圍微分幾何提供了不可缺少的工具，成為整個現代數學中的重要構成部份。陳省身的其他數學工作範圍極為廣泛，影嚮亦深。
陳省身於1946年第二次世界大戰結束後重返中國，在上海建立了中央研究院的數學研究所﹝後遷南京﹞，此後兩三年中，他培養了一批青年拓扑學家。 1949年他再去美國，先後在芝加哥大學與伯克利加州大學任終身教授。 1981年在伯克利的以純粹數學為主的數學科學研究所任第一任所長。 1985年創辦南開數學研究所，並任所長。
陳省身由於對數學的重要貢獻而享有多種榮譽，其中有1984年獲頒的沃爾夫獎﹝Wolf Prize﹞。給他教過的學生，計有吳文俊、楊振寧、廖山濤、丘成桐、鄭紹遠等著名學者。
人物小傳
費馬﹝Fermat, Pierre de, 1601-1665﹞
法國數學家費馬於1601年8月17日在法國南部圖盧茲附近波蒙──德洛馬涅出生。早年於家鄉受教育，後入圖盧茲大學供讀法律，畢業後任職律師。自1631年起任圖盧茲議會議員。任職期間，他利用工餘時間鑽研數學，並經常以書信與笛卡兒、梅森、惠更斯等著名學者交往，討論數學問題。他飽覽群書，精通數國文字，掌握多門自然科學的知識。雖年近三十才認真注意數學，但成就累累。最後於1665年1月12日在卡斯特爾逝世。
他生前由於性情淡泊，為人謙遜，因此較少發表論著，大多成果只留在手稿、通信或書頁之空白處。他的兒子於1679年把這些遺作整理匯集成書﹝共兩卷﹞，在圖盧茲出版。
費馬對數論尤其鍾愛，他証明或提出眾多命題，如形如4n + 1之素數均可唯一地表示兩個平方數之和；費馬小定理，即如p是素數，a是正整數，則p|(ap-a)等，其中以「費馬大定理」最為著名，即不可能有滿足xn + yn = zn，﹝n >2﹞之正整數解。這命題載於丟番圖《算術》1621年拉丁文譯本第二卷之空白處：「……一個高於二次的冪是不可能分成兩個同次的冪。為此，我確信已發現一美妙的証法，可惜這裏太少空白地方，寫不下。」後來因找不到費馬的証明，這激發起歷代數學家之研究，直至1995年才由英國數學家懷爾斯﹝Andrew Wiles﹞徹底證明費馬大定理，歷時超過300多年。有興趣的讀者可參考本網頁資源中心(講義)一欄內「費馬最後定理」之資料。
費馬於較早或與笛卡兒同時已得解析幾何的要旨。他於《平面與立體軌跡引論》﹝1629-1636：「立體軌跡」指不可用尺規作出的曲線，有別於現在之含義﹞一文中明確地指出曲線可以方程描述，且曲線性質可由方程的研究推斷出。因此，他與笛卡兒分享創立解析幾何之榮譽。
另外，他也是早期微積分學的先驅。他於1636年給羅貝瓦爾及1638年給笛卡兒的信中提出求極大、極小與拐點的步驟，實際已相當於使導數成零而求極點之方法。這成為現代微積分中函數取極值之必要條件。而且，他曾討論曲線xmyn = k﹝m，n是正整數﹞下的面積，並通過求和過程得到求曲線所圍面積之公式。
此外，他透過與帕斯卡之通信討論賭金分配問題，得出正確解答，因而成為17世紀興起的概率論的共同創立者之一。他還於光學研究中提出「費馬原理」，給後世變分法之研究極大的啟示。
由於他在數論、解析幾何、概率論等方面貢獻良多，被後世譽為「業餘數學家之王」。
人物小傳
傅立葉（Fourier, Jean Baptiste Joseph, 1768-1830）
法國數學家、物理學家。 1768年3月21日生於歐塞爾， 1830年5月16日卒於巴黎。 9歲父母雙亡，被當地教堂收養 。 12歲由一主教送入地方軍事學校讀書。 17歲（1785）回鄉教數學，1794到巴黎，成為高等師範學校的首批學員， 次年到巴黎綜合工科學校執教。 1798年隨拿破侖遠征埃及時任軍中文書和埃及研究院秘書，1801年回國後任伊澤爾省地方長官。 1817年當選為科學院院士，1822年任該院終身秘書，後又任法蘭西學院終身秘書和理工科大學校務委員會主席。主要貢獻是在研究熱的傳播時創立了一套數學理論。 1807年向巴黎科學院呈交《熱的傳播》論文，推導出著名的熱傳導方程，並在求解該方程時發現解函數可以由三角函數構成的級數形式表示，從而提出任一函數都可以展成三角函數的無窮級數。 1822 年在代表作《熱的分析理論》中解決了熱在非均勻加熱的固體中分佈傳播問題，成為分析學在物理中應用的最早例證之一，對19世紀數學和理論物理學的發展產生深遠影響。傅立葉級數（即三角級數）、傅立葉分析等理論均由此創始。其他貢獻有：最早使用定積分符號，改進了代數方程符號法則的證法和實根個數的判別法等。
人物小傳
馮?諾伊曼﹝Von Neumann, John, 1903-1957﹞
匈牙利─美國數學家。 1903年12月28日生於匈牙利布達佩斯，1957年2月8日卒於美國華盛頓。父親是猶太血統銀行家。他從小就顯露出數學才能，早年在柏林大學和蘇黎世工業大學學習化學，1926年取得化學工程師的資格。在此期間他自學數學，於1926年獲得博士學位。先後在柏林大學和漢堡大學任職。 1933年成為普林斯頓高等研究所終身教授。二次大戰期間，擔任製造原子彈的顧問，並參與電子計算機的研製工作。
馮?諾伊曼是當代最傑出的數學家之一，在純粹數學和應用數學方面都有卓越的貢獻。 40年代以前，他主要研究純粹數學，在集合論、測度論、群論及算子理論等方面作出貢獻。特別在1933年解決了希爾伯特第5問題。他建立的算子環理論為量子力學奠定了數學基礎。這一時期的代表作是《量子力學的數學基礎》。 1940年以後，轉向應用數學研究，他為原子彈的設計方案提出許多重要建議。 1944年參加了世界上第一台電子計算機的設計，後來又陸續研究更完善的計算機。
另一項重大成果是創立了對策論，並應用於經濟領域，1944年與人合著的《對策論與經濟行為》已成為經典著作。他在病危的情形下，還研究人的神經系統與計算機的關係，未及完成而卒，以後以《計算機與人腦》﹝1958﹞刊行於世。
人物小傳
楊輝﹝約公元13世紀中葉至後半葉﹞
楊輝，字謙光，錢塘﹝今浙江杭州﹞人，南宋數學家。對楊輝的生平事蹟所知不多。
楊輝一生中寫過許多數學著作，共五種二十一卷。楊輝在著作中收錄了不少現已失傳的、古代各類數學著作中很有價值的算題和算法，保存了許多十分寶貴的宋代數學史料。楊輝十分留心數學教育，並在自己的實踐中貫徹其教育思想。楊輝更對於垛積問題﹝高階等差級數﹞及幻方作過詳細的研究。
人物小傳
拉格朗日﹝Lagrange, Joseph Louis，1736-1813﹞
法國數學家、力學家及天文學家拉格朗日於1736年1月25日在意大利西北部的都靈出生。少年時讀了哈雷介紹牛頓有關微積分之短文，因而對分析學產生興趣。他亦常與歐拉有書信往來，於探討數學難題「等周問題」之過程中，當時只有18歲的他就以純分析的方法發展了歐拉所開創的變分法，奠定變分法之理論基礎。後入都靈大學。
1755年，19歲的他就已當上都靈皇家炮兵學校的數學教授。不久便成為柏林科學院通訊院院士。兩年後，他參與創立都靈科學協會之工作，並於協會出版的科技會刊上發表大量有關變分法、概率論、微分方程、弦振動及最小作用原理等論文。這些著作使他成為當時歐洲公認的第一流數學家。
到了1764年，他憑萬有引力解釋月球天平動問題獲得法國巴黎科學院獎金。 1766年，又因成功地以微分方程理論和近似解法研究科學院所提出的一個複雜的六體問題﹝木星的四個衛星的運動問題﹞而再度獲獎。
同年，德國普魯士王腓特烈邀請他到柏林科學院工作時說：「歐洲最大的王」之宮廷內應有「歐洲最大的數學家」，於是他應邀到柏林科學院工作，並在那裏居住達20年。其間他寫了繼牛頓後又一重要經典力學著作《分析力學》﹝1788﹞。書內以變分原理及分析的方法，把完整和諧的力學體系建立起來，使力學分析化。他於序言中更宣稱：力學已成分析的一個分支。
1786年普魯士王腓特烈逝世後，他應法王路易十六之邀，於1787年定居巴黎。其間出任法國米制委員會主任，並先後於巴黎高等師範學院及巴黎綜合工科學校任數學教授。最後於1813年4月10日在當地逝世。
拉格朗日不但於方程論方面貢獻重大，且還推動了代數學之發展。他在生前提交給柏林科學院的兩篇著名論文：《關於解數值方程》﹝1767﹞及《關於方程的代數解法的研究》﹝1771﹞中，考察了二、三及四次方程的一種普遍性解法，即把方程化作低一次之方程﹝輔助方程或預解式﹞以求解。但這並不適用於五次方程。在他有關方程求解條件的研究中早已蘊含了群論思想的萌芽，這使他成為伽羅瓦建立群論之先導。
另外，他在數論方面亦是表現超卓。費馬所提出的許多問題都被他一一解答，如：一正整數是不多於四個平方數之和的問題；求方程x2 - A y 2 = 1﹝A為一非平方數﹞之全部整數解的問題等。他還証明了π之無理性。這些研究成果都豐富了數論之內容。
此外，他還寫了兩部分析巨著《解析函數論》﹝1797﹞及《函數計算講義》﹝1801﹞，總結了那一時期自己一系列之研究工作。
於《解析函數論》及他收入此書的一篇論文﹝1772﹞中企圖把微分運算歸結為代數運算，從而拼棄至生頓以來一直令人困惑之無窮小量，為微積分奠定理論基礎方面作出獨特之嘗試。他又把函數f(x)的導數定義成f(x + h)之泰勒展開式中的h項之系數，並由此為出發點建立全部分析學。可是他並未考慮到無窮級數的收斂性問題，他自以為擺脫了極限概念，實只回避了極限概念，因此並未達到使微積分代數化、嚴密化之想法。不過，他採用新的微分符號，以冪級數表示函數之處理手法使分析學之發展產生了影響，成為實變函數論之起點。
而且，他還在微分方程理論中作出奇解為積分曲線族的包絡之幾何解釋，提出線性代換之特徵值概念等。
數學界近百多年來的許多成就都可直接或簡接地追溯於拉格朗日的工作。為此他於數學史上被認為是對分析數學的發展產生全面影響的數學家之一。
人物小傳
泰勒
１８世紀早期英國牛頓學派最優秀代表人物之一的英國數學家泰勒（Brook Taylor）， 於１６８５年８月１８日在米德爾塞克斯的埃德蒙頓出生。 １７０９年後移居倫敦，獲法學碩士學位。他在１７１２年當選為英國皇家學會會員，並於兩年後獲法學博士學位。同年（即１７１４年）出任英國皇家學會秘書，四年後因健康理由辭退職務。 １７１７年，他以泰勒定理求解了數值方程。最後在１７３１年１ ２月２９日於倫敦逝世。
泰勒的主要著作是１７１５年出版的《正的和反的增量方法》，書內以下列形式陳述出他已於１７１２年７月給其老師梅欽（數學家、天文學家）信中首先提出的著名定理──泰勒定理：
式內ｖ為獨立變量的增量，及為流數。他假定ｚ隨時間均勻變化，則為常數。上述公式以現代形式表示則為：
這公式是從格雷戈里－牛頓插值公式發展而成的，當ｘ＝０時便稱作馬克勞林定理。 １７７２年，拉格朗日強調了此公式之重要性，而且稱之為微分學基本定理，但泰勒於證明當中並沒有考慮級數的收斂性，因而使證明不嚴謹， 這工作直至十九世紀二十年代才由柯西完成。泰勒定理開創了有限差分理論，使任何單變量函數都可展成冪級數；同時亦使泰勒成了有限差分理論的奠基者。
泰勒於書中還討論了微積分對一系列物理問題之應用，其中以有關弦的橫向振動之結果尤為重要。他透過求解方程導出了基本頻率公式，開創了研究弦振問題之先河。此外，此書還包括了他於數學上之其他創造性工作，如論述常微分方程的奇異解，曲率問題之研究等。
１７１５年，他出版了另一名著《線性透視論》，更發表了再版的《線性透視原理》（１７１９）。他以極嚴密之形式展開其線性透視學體系，其中最突出之貢獻是提出和使用「沒影點」概念，這對攝影測量制圖學之發展有一定影響。另外，還撰有哲學遺作，發表於１７９３年。
人物小傳
康托爾． Ｇ（G.Cantor, 1845-1918）
德國數學家。 １８４５年生於俄國聖彼得堡，卒於哈雷，是丹麥猶太商人之子。集合論的創始人，受教於數學家庫默爾、外爾斯特拉斯和克羅內克等人。 １８６７年獲博士學位。
康托爾的集合論思考與研究是從他的三角級數的研究中產生的。 １８７１年給出了集合的定義，定義了集合的交與并等。他在１８７２年利用有理數的「基本序列」概念定義了無理數，把實數的理論嚴格起來，並建立了點集論。 １８７４年康托爾發表第一篇關於無窮集合的文章，對超越數的存在且遠遠「多」於代數數作出了集合論的證明，轟動當時世界數學界。 １８７８年引進了無窮集的「勢」和提出「連續性」的問題。 １８８３年給出了超限基數的定義等。
康托爾的集合論富有革命性，其理論很難被立即接受，以致遭受一些數學家的反對，但他的理論無疑是對十九世紀末、二十世紀初的數學基礎的研究產生了深遠的影響，集合論已滲透到各數學分支，成為分析理論、測度論、 拓撲學及數理科學中必不可缺之理論。
人物小傳
秦九韶﹝約公元1202-1261年﹞
秦九韶，字道古，秦九韶的父親在南宋朝廷裏當一名不大的官，他跟隨父親居住在杭州，因而有機會向太史學習天文、曆法，又同隱君子學習數學。 18歲那年，他返回故鄉，舉義抗元，為義兵的首領，後來，他又到四川當過縣尉。淳祐四年﹝公元1244年﹞為建康通判，不久母喪，還家守孝服喪，在這期間他把歷年積累下來的數學研究成果加以整理，於淳祐七年﹝公元1247年﹞九月，寫出《數書九章》十八卷。
《數書九章》是一部劃時代的數學巨著。全書共81道題，分為九大類：大衍類、天時類、田域類、測望類、賦役類、錢谷類、營建類、軍旅類、市易類。全書實用性強，所設問題複雜，解題步驟詳細。其中對「大衍求一術」﹝一次同餘組解法﹞和「正負開方術」﹝高次方程的數值解法﹞等有十分深入的研究。關於一次同餘式問題，最早是在成書於公元四、五世紀的《孫子算經》「物不知數」中出現，但對此問題給以理論上的說明，是由秦九韶給出。西方則到18，19世紀時，才由歐拉﹝Euler，公元1707-1783年﹞、高斯﹝Gauss，公元1777-1855年﹞獲得與「大衍求一術」相同的定理。至於求高次方程的數值解法，是秦九韶在賈憲、劉益的基礎上推廣而來的。英國數學家霍納﹝Willian George Horner，1786-1837﹞在1819年才發表與「正負開方術」一樣的霍納法。
人物小傳
歐拉（Euler Lonhard，1707－1783）
歐拉，瑞士數學家及自然科學家。在1707年4月15日出生於瑞士的巴塞爾，1783年9月18日於俄國的彼得堡去逝。歐拉出生於牧師家庭，自幼已受到父親的教育。 13歲時入讀巴塞爾大學，15歲大學畢業，16歲獲得碩士學位。
歐拉的父親希望他學習神學，但他最感興趣的是數學。在上大學時，他已受到約翰第一．伯努利的特別指導，專心研究數學，直至18歲，他徹底的放棄當牧師的想法而專攻數學，於19歲時（1726年）開始創作文章，並獲得巴黎科學院獎金。
1727年，在丹尼爾．伯努利的推薦下，到俄國的彼得堡科學院從事研究工作。並在1731年接替丹尼爾第一．伯努利 ，成為物理學教授。
在俄國的14年中，他努力不懈地投入研究，在分析學、數論及力學方面均有出色的表現。此外，歐拉還應俄國政府的要求，解決了不少如地圖學、造船業等的實際問題。 1735 年，他因工作過度以致右眼失明。在1741年，他受到普魯士腓特烈大帝的邀請到德國科學院擔任物理數學所所長一職。他在柏林期間，大大的擴展了研究的內容，如行星運動、剛體運動、熱力學、彈道學、人口學等，這些工作與他的數學研究互相推動著。與此同時，他在微分方程、曲面微分幾何及其他數學領域均有開創性的發現。
1766年，他應俄國沙皇喀德林二世敦聘重回彼得堡。在1771年，一場重病使他的左眼亦完全失明。但他以其驚人的記憶力和心算技巧繼續從事科學創作。他通過與助手們的討論以及直接口授等方式完成了大量的科學著作，直至生命的最後一刻。
歐拉是18世紀數學界最傑出的人物之一，他不但為數學界作出貢獻，更把數學推至幾乎整個物理的領域。此外，他是數學史上最多產的數學家，寫了大量的力學、分析學、幾何學、變分法的課本，《無窮小分析引論》（1748），《微分學原理》（1755），以及《積分學原理》（1768-1770） 都成為數學中的經典著作。
歐拉最大的功績是擴展了微積分的領域，為微分幾何及分析學的一些重要分支（如無窮級數、微分方程等）的產生與發展奠定了基礎。
歐拉把無窮級數由一般的運算工具轉變為一個重要的研究科目。他計算出ξ函數在偶數點的值： 。他證明了a2k是有理數，而且可以伯努利數來表示。
此外，他對調和級數亦有所研究，並相當精確的計算出歐拉常數γ的值，，其值近似為0.57721566490153286060651209...
在18世紀中葉，歐拉和其他數學家在解決物理方面的問過程中，創立了微分方程學。當中，在常微分方程方面，他完整地解決了n階常系數線性齊次方程的問題，對於非齊次方程，他提出了一種降低方程階的解法；而在偏微分方程方面，歐拉將二維物體振動的問題，歸結出了一、二、三維波動方程的解法。歐拉所寫的《方程的積分法研究》更是偏微分方程在純數學研究中的第一篇論文。
在微分幾何方面（微分幾何是研究曲線、曲面逐點變化性質的數學分支），歐拉引入了空間曲線的參數方程，給出了空間曲線曲率半徑的解析表達方式。在1766年，他出版了《關於曲面上曲線的研究》，這是歐拉對微分幾何最重要的貢獻，更是微分幾何發展史上一個里程碑。他將曲面表為z=f(x,y)，並引入一系列標準符號以表示z對x，y的偏導數，這些符號至今仍通用。此外，在該著作中，他亦得到了曲面在任意截面上截線的曲率公式。
歐拉在分析學上的貢獻不勝枚舉，如他引入了G函數和B 函數，這證明了橢圓積分的加法定理，以及最早引入二重積分等等。
在代數學方面，他發現了每個實系數多項式必分解為一次或二次因子之積，即a+bi的形式。歐拉還給出了費馬小定理的三個證明，並引入了數論中重要的歐拉函數φ(n)，他研究數論的一系列成果奠定了數論成為數學中的一個獨立分支。歐拉又用解析方法討論數論問題，發現了ξ函數所滿足的函數方程，並引
