20世纪60年代以来，随着社会生产和科学技术的巨大进步，数学得到全面的发展，产生了许多新的理论和分支。目前，在国际上比较引人注目而且正在讨论和研究的，有模糊数学、突变理论、非标准分析等。
一、模糊数学
模糊数学是数学中的一门新兴学科，其前途未可限量。
1965年，《模糊集合》的论文发表了。作者是著名控制论专
家、美国加利福尼亚州立大学的扎德（L.A.Zadeh）教授。康托的集合论已成为现代数学的基础，如今有人要修改集合的概念，当然是一件破天荒的事。扎德的模糊集的概念奠定了模糊性理论的基础。这一理论由于在处理复杂系统特别是有人干预的系统方面的简捷与有力，某种程度上弥补了经典数学与统计数学的不足，迅速受到广泛的重视。近40年来，这个领域从理论到应用，从软技术到硬技术都取得了丰硕成果，对相关领域和技术特别是一些高新技术的发展产生了日益显著的影响。
有一个古老的希腊悖论，是这样说的：
“一粒种子肯定不叫一堆，两粒也不是，三粒也不是……另一方面，所有的人都同意，一亿粒种子肯定叫一堆。那么，适当的界限在哪里？我们能不能说，123585粒种子不叫一堆而123586粒就构成一堆？”
确实，“一粒”和“一堆”是有区别的两个概念。但是，它们的区别是逐渐的，而不是突变的，两者之间并不存在明确的界限。换句话说，“一堆”这个概念带有某种程度的模糊性。类似的概念，如“年老”、“高个子”、“年轻人”、“很大”、“聪明”、“漂亮的人”、“价廉物美”等等，不胜枚举。
经典集合论中，在确定一个元素是否属于某集合时，只能有两种回答：“是”或者“不是”。我们可以用两个值0或1加以描述，属于集合的元素用1表示，不属于集合的元素用0表示。然而上面提到的“年老”、“高个子”、“年轻人”、“很大”、“聪明”、“漂亮的人”、“价廉物美” 等情况要复杂得多。假如规定身高1.8米算属于高个子范围，那么，1.79米的算不算？照经典集合论的观点看：不算。但这似乎很有些悖于情理。如果用一个圆，以圆内和圆周上的点表示集A，而且圆外的点表示不属于A。A的边界显然是圆周。这是经典集合的图示。现在，设想将高个子的集合用图表示，则它的边界将是模糊的，即可变的。因为一个元素（例如身高1.75米的人）虽然不是100%的高个子，却还算比较高，在某种程度上属于高个子集合。这时一个元素是否属于集合，不能光用0和1两个数字表示，而可以取0和1之间的任何实数。例如对1.75米的身高，可以说具有70%属于高个子集合的程度。这样做似乎罗嗦，但却比较合乎实际。
精确和模糊，是一对矛盾。根据不同情况有时要求精确，有时要求模糊。比如打仗，指挥员下达命令：“拂晓发起总攻。”这就乱套了。这时，一定要求精确：“ 月 日清晨六时正发起总攻。”我们在一些旧电影中还能看到各个阵地的指挥员在接受命令前对对表的镜头，生怕出个半分十秒的误差。但是，物极必反。如果事事要求精确，人们就简直无法顺利的交流思想——两人见面，问：“你好吗？”可是，什么叫“好”，又有谁能给“好”下个精确的定义？
有些现象本质上就是模糊的，如果硬要使之精确，自然难以符合实际。例如，考核学生成绩，规定满60分为合格。但是，59分和60分之间究竟有多大差异，仅据1分之差来区别及格和不及格，其根据是不充分的。
不仅普遍存在着边界模糊的集合，就是人类的思维，也带有模糊的特色。有些现象是精确的，但是，适当的模糊化可能使问题得到简化，灵活性大为提高。例如，在地里摘玉米，若要找一个最大的，那很麻烦，而且近乎迂腐。我们必须把玉米地里所有的玉米都测量一下，再加以比较才能确定。它的工作量跟玉米地面积成正比。土地面积越大，工作越困难。然而，只要稍为改变一下问题的提法：不要求找最大的玉米，而是找比较大的，即按通常的说法，到地里摘个大玉米。这时，问题从精确变成了模糊，但同时也从不必要的复杂变成意外的简单，挑不多的几个就可以满足要求。工作量甚至跟土地无关。因此，过分的精确实际成了迂腐，适当的模糊反而灵活。
显然，玉米的大小，取决于它的长度、体积和重量 。大小虽是模糊概念，但长度、体积、重量等在理论上都可以是精确的。然而，人们在实际判断玉米大小时，通常并不需要测定这些精确值。同样，模糊的“堆”的概念是建立在精确的“粒”的基础上，而人们在判断眼前的东西叫不叫一堆时，从来不用去数“粒”。有时，人们把模糊性看成一种物理现象。近的东西看得清，远的东西看不清，一般的说，越远越模糊。但是，也有例外的情况：站在海边，海岸线是模糊的；从高空向下眺望，海岸线却显得十分清晰。太高了，又模糊。精确与模糊，有本质区别，但又有内在联系，两者相互矛盾、相互依存也可相互转化。所以，精确性的另一半是模糊。
对模糊性的讨论，可以追溯得很早。20世纪的大哲学家罗素（B.Russel）在1923年一篇题为《含糊性》（Vagueness）的论文里专门论述过我们今天称之为“模糊性”的问题（严格地说，两者梢有区别），并且明确指出：“认为模糊知识必定是靠不住的，这种看法是大错特错的。”尽管罗素声名显赫，但这篇发表在南半球哲学杂志的文章并未引起当时学术界对模糊性或含糊性的很大兴趣。这并非是问题不重要，也不是因为文章写得不深刻，而是“时候未到”。罗素精辟的观点是超前的。长期以来，人们一直把模糊看成贬义词，只对精密与严格充满敬意。20世纪初期社会的发展，特别是科学技术的发展，还未对模糊性的研究有所要求。事实上，模糊性理论是电子计算机时代的产物。正是这种十分精密的机器的发明与广泛应用，使人们更深刻地理解了精密性的局限，促进了人们对其对立面或者说它的“另一半”——模糊性的研究。
扎德1921年2月生于苏联巴库，1942年毕业于伊朗德黑兰大学电机工程系，获学士学位。1944年获美国麻省理工学院（MIT）电机工程系硕士学位，1949年获美国哥伦比亚大学博士学位，随后在哥伦比亚、普林斯顿等著名大学工作。从1959年起，在加里福尼亚大学伯克莱分校电机工程、计算机科学系任教授至今。
扎德在20世纪50年代从事工程控制论的研究，在非线形滤波器的设计方面取得了一系列重要成果，已被该领域视为经典并广泛引用。60年代初期，扎德转而研究多目标决策问题，提出了非劣解等重要概念。长期以来，围绕决策、控制及其有关的一系列重要问题的研究，从应用传统数学方法和现代电子计算机解决这类问题的成败得失中，使扎德逐步意识到传统数学方法的局限性。他指出：“在人类知识领域里，非模糊概念起主要作用的惟一部门只是古典数学”，“如果深入研究人类的认识过程，我们将发现人类能运用模糊概念是一个巨大的财富而不是包袱。这一点，是理解人类智能和机器智能之间深奥区别的关键。”精确的概念可以用通常的集合来描述。模糊概念应该用相应的模糊集合来描述。扎德抓住这一点，首先在模糊集的定量描述上取得突破，奠定了模糊性理论及其应用的基础。
集合是现代数学的基础，模糊集合一提出，“模糊”观念也渗透到许多数学分支。模糊数学的发展速度也是相当快的。从发表的论文看，几乎是指数般的增长。模糊数学的研究可分三个方面：一是研究模糊数学的理论，以及它和精确数学、统计数学的关系；二是研究模糊语言和模糊逻辑；三是研究模糊数学的应用。在模糊数学的研究中，目前已有模糊拓扑学、模糊群论、模糊凸论、模糊概率、模糊环论等分支。虽然模糊数学是一门新兴学科，但它已初步应用于自动控制、模式识别、系统理论、信系检索、社会科学、心理学、医学和生物学等方面。将来还可能出现模糊逻辑电路、模糊硬件、模糊软件和模糊固件，出现能和人用自然语言对话、更接近于人的智能的新的一类计算机。所以，模糊数学将越来越显示出它的巨大生命力。
是否有人反对呢？当然有。一些概率论学者认为模糊数学不过是概率论的一个应用而已。一些搞理论数学的人说这不是数学。搞应用的人则说道理说的很好，但真正的实际效果没有。然而，国际著名的应用数学家考夫曼（A.Kauffman）教授在访华时说：“他们的攻击是毫无道理的，不必管人家说什么，我们努力去做就是。”
二、非标准分析
20世纪60年代出现了非标准分析，它是利用数理逻辑方法
来探讨和刻画微积分的理论基础，引起了人们的重视，为数学开辟了新的研究领域。
通常的数学分析，又称为标准分析，其主要部分是微积分学，它是以现实世界中的连续变量及其相互关系为研究对象的数学分支。它的基本概念是在实数系范围内取值的变量和函数的概念，它的研究方法是极限理论。所以，标准分析是指十九世纪柯西、魏尔斯特拉斯等人用极限方法所建立的微积分理论，他们在数学的证明中用极限方法代替了无限小量方法，对微积分理论作了较严谨的逻辑论证，他们的理论比十七、十八世纪的微积分理论前进了一大步。这表现在它创立了一系列判别法则，发现了关于函数的连续性、可微性的一些重要结果。
围绕微积分的一场争论曾在18世纪初激烈进行。话可从牛顿时代说起。试看求y=x2的导数。先取无穷小量⊿x，则⊿y=(x+⊿x)2-x2=2x⊿x+⊿x2，即⊿y/⊿x=2x+⊿x。又因为⊿x是无穷小量可忽略不计，即得y/=2x。无穷小量⊿x在这里既不是0（可用⊿x 去除），却又等于0（最后忽略不计，⊿x就消失了）。这套办法似乎有点像变魔术。马克思称略去⊿x是“暴力镇压”，大主教贝克莱则呼之为“逝去量的鬼魂”或“已死量的幽灵”（ghosts of departed quantities）。这种把无穷小神秘化的做法确实不太好，“招之即来，呼之即去”，完全是神差鬼使的一套。然而不管如何攻击，它的运算结果却总是对的。大数学家欧拉曾用这种不严格的微积分做出了辉煌的成果。渐渐地人们也不再有异议了。
到了19世纪，法国数学家柯西认识到，结论正确并不意味着体系完整，于是着手使“无穷小分析”严格化。这就是著名ε—N和ε—δ说法，这个说法到19世纪70年代才由魏尔斯特拉斯完成。这种寓动于静，表示极限过程的描述，把神秘化的外衣去掉了：所谓无穷小，不过是极限为0的变量而已。它不是“一个数”，而是一个变化过程，即不断向常数0以误差可任意小进行逼近的一个变量。它的表示完全是算术化了的，ε，δ等的关系，明确无误，一目了然。然而，“无穷小”不是数，不能直接除，也不能忽略不计，生动活泼的运算淹没在形式的海洋里，人们抱怨微积分越来越难学。工程学家不理会对无穷小的批评，仍然沿用牛顿—欧拉时代的方便做法，把“无穷小”拿在手里不肯丢掉。不过，“无穷小”在数坛上终究呆不住，20世纪以来，几乎销声匿迹，偶尔提到它，也不过是习惯性的名词介绍而已。
1960年秋事情有了转机。数理逻辑学家阿伯拉罕 罗宾逊（Abraham Robinson,1918~1974,生于德国的犹太人，1962年去美国）在普林斯顿大学的一次报告中指出：现代数理逻辑的概念和方法能为“无穷小”和“无穷大”作为“数”进入微积分提供合适的框架。1961年，罗宾逊在荷兰阿姆斯特丹皇家科学院学报上发表文章，题为《非标准分析》，表明这一新数学分支已经呱呱坠地了。
在标准分析里，研究的有理数和无理数的集合称为实数集合。实数集合与直线上的点一一对应，实数的集合是连续的。在非标准分析里，罗宾逊的基本想法是：无穷小既然不是一个“数”，即在实数集合中没有它的位置，那么我们是否能把实数集合扩大，使之成为新的超实数集合，而微积分在超实数集合中实施时，能够保持当年牛顿—欧拉时代的直观和简便易行？罗宾逊用数理逻辑中模型论的方法做到了这一点。在超实数集合中，每一通常的实数是标准数，它的周围聚集着许多“无穷小”（非标准实数），就像电子围绕原子核一样。在超实数集合中没有阿基米德性质，即任取整数α和β，不一定都能找到自然数n，使nα＞β，因为无穷小是大于0的非标准实数，它的任意整倍数仍是无穷小，不可能大于正标准数β。
从“宏观”上看，超实数集合的数轴与实数集合的数轴一样。但是从“微观”上看并不相同，在超实数轴上的每一点内，有许多非标准实数。这些非标准实数彼此相差无限小量，形成了一个有内部结构的点，称为“单子”，每个“单子”只有一个标准实数。从标准实数来看，点与点是连续的，从超实数轴来看，点与点是连续与间断的对立统一。
从它的物理意义来说，如一条光线，从“宏观”看来，它是连续的，从“微观”看来不仅不连续，而且不均匀，量子理论证明了光具有波动和粒子二像性，正表明了光是连续与不连续的对立统一。
非标准分析为我们打开了一个新的世界——“点”的世界。任何一个“点”，都是一个“世界”；任何一个世界，都是一个“点”，正如天外有天一样，点内又有点。在太阳系中，地球是一个“点”，它是有结构的，可分的，同样分子可作为一个“点”，它有结构，是可分的。从数学上说，由更小的层次看来，在任何一个“点”中，都可以建立坐标系，因为它是一个“世界”，由更大的层次看来，在任何一个“世界”都可以仅仅是坐标系的一点。非标准分析接受了“点”的可分性的辩证法。
这套数理逻辑的方法是相当烦琐的，要弄懂它比搞清微积分概念困难得多。但是无穷小毕竟堂而皇之地重返数坛，成为逻辑上站得住脚的数学中的一员，这是非标准分析给我们带来的“革命”信息，是令人高兴的事情。从哲学上看，也自有它的意义。否定之否定，微积分学的基础又得到了新发展，真是“柳暗花明又一村！”
1965年4月，罗宾逊写了《非标准分析》一书，广为流传。许多数学家对此表示支持，也有许多人表示怀疑。1973年，罗宾逊在普林斯顿高等研究所遇到著名的哥德尔——本世纪最著名数理学家。哥德尔作了这样的评价：
“非标准分析不但常常能够简化初等定理的证明，而且对简化艰深结论的证明也同样有效。例如，对于紧算子具有“不变子空间”的定理就能大大简化。……我们有理由相信，不论从哪方面看，非标准分析将会成为未来的数学分析。……在未来世纪中，将要思量数学史中的一件大事，就是为什么在发明微积分学后300年，第一个严格的无限小理论才发展起来。”
哥德尔的评价使非标准分析更加受人重视。非标准的群论、非标准的泛函分析、非标准的拓扑，相继问世。基斯勒（Keisler）写了一本非标准分析的微积分教科书，经过试教，据说接受情况良好，准备扩大试验。但是，对它抱怀疑态度的人最近越来越多。理由是“凡用非标准分析能得到的结果，用原来的标准方法都能得到，既然没有新东西，本身又那样难懂，何必去学它呢？”更有人认为非标准分析不过是数理逻辑学家在“想入非非”、“见异思迁”，实在是多此一举。至于非标准分析是否能成为“未来世纪的数学分析”，恐怕要接受实践的检验，经受历史的考验。人们接受一种新事物需要一个过程，尤其对于一种新说法、新装饰、更需要时间。要人们普遍使用非标准分析，简直就像让人去说另一门外语一样难。哥德尔的预言是否正确，且看将来吧！不过，罗宾逊使无穷小再生的功绩将不会抹杀，在数学史上一定会有一席地位的。
三、突变理论
突变理论“热”轰动一时，是20世纪60年代末和70年代初的又一大新闻。
许多年以来，自然界许多事物的连续的、平滑的运动变化过程，比如象地球围绕太阳旋转那种连续变化的自然现象，都可以用微积分的方法给以解释，并加以计算和预测，得到圆满的解决。我们可以说，经典的微积分是连续变化的数学模型。但是，当遇到充满突变和跳跃的自然现象来说，不连续性把系统的行为空间变成不可微的，微积分也无法解决。火山的爆发、岩石的破裂、桥梁的断塌，细胞的分裂、胚胎的变异、地震突然发生、蝗虫急速繁殖，病人忽然休克，如此等等，由量变突然发展为质变，乃是司空见惯的现象。不但自然界存在着许多突变现象，即使在生物界和社会科学领域也有很多突变现象。比如一只既惊又恐的狗似乎要咬人，但只要稍加恐吓就会掉头逃跑，而一只似乎要跑的狗，因涉及到被逼迫的刺激而突然地放弃逃走的念头，转为进攻（即所谓狗急跳墙）。一个国家对另一个国家的威胁变得太大，突然的造成不宣而战；市场上稳定的经济增长，因受到许多涨落的影响而突然的价跌千丈等等，突变现象不一而足。有没有可能建立一种关于突变现象的一般性数学理论来描述各种飞跃和不连续过程呢？这引起数学家的重视。法国数学家勒内 托姆(Ren Thom,1923~ )——菲尔兹奖获得者，从1968年开始陆续发表文章，论述“突变理论”。1972年，出版《构造稳定性和形态发生学》一书，明确的阐明了突变理论的内容，宣告了突变理论的诞生，一时风靡世界。英国齐曼（Zeeman）教授称突变理论是“数学界的一次智力革命——微积分以后最重要的发现”。
突变理论主要以拓扑学、奇点理论为工具，并通过对稳定性结构的研究，说明了有的事物不变，有的渐变，有的则是突变，从而提出了一系列的数学模型，用以解释自然界和社会现象中所发生的不连续的变化过程，描述各种现象为何从性状的一种形式突然地跳跃到根本不同的另一种形式。按照突变理论，自然界和社会现象中的大量的不连续事件，可以由某些特定的几何形状来表示。
托姆是一位卓有成就的拓扑学家，他以协边理论的创造驰名于世。60年代以来，他致力于高维空间曲面的研究，用微分拓扑的方法分析曲面的奇点，并进行分类。托姆提出，发生在三维空间和一维时间的四个因子控制下的突变，有七种突变类型：折迭突变、尖顶突变、燕尾突变、蝴蝶突变、双曲脐型突变、椭圆脐型突变以及抛物脐型突变等。例如，水由液体转化为气体、甚至由液体凝结为固体，水的这几种质态之间相互转化的模型，可用突变理论中的尖顶突变来描述。在光学中，一束光线（即一小组相邻的光线）有可能是以某种方式聚焦的，于是，它们汇集在一个平面上，甚至一条线上或一个点上，而不再充满于一个空间区域。它的强度可以很大，如果你拿一个放大镜放在阳光下，光线被聚集照射在纸片上，不一会纸片就会燃烧起来。与聚焦现象相反的是散焦现象。使一束光线聚焦或散焦的曲面分别称为焦聚面与焦散面。在光学中，借助于突变理论找到了光的焦聚散面的全部可能形式，这是突变理论应用到光学研究中的著名成果之一。夏日雨过天晴，在蔚蓝的天空中常常会出现一条五彩缤纷的彩虹。我们知道，虹是由于阳光照射到空中的水滴里，发生反射与折射而造成的；当我们在平静无风的海面航行或站在海边瞭望，往往会看到空中映现出远方船舶、岛屿、或城郭楼台的映像；在沙漠里旅行，有时也会发现远处突然有一片湖水，湖面树影摇曳。可是大风一起，这些景象就突然消失了，原来这是一种幻景，人们称为海市蜃楼。海市蜃楼的产生也是光线反射和折射的结果。另外据报导，在中纬度和低纬度的海区，在海深一千米左右处存在一个稳定的声道（这是海中的某一水层，声音能够被限制在这个“通道”内传播到很远的地方，而不会“溢”出去），这种现象的产生是由于在深海中存在一个稳定的极小声音速度层的缘故。实际上，雨过天晴出现的彩虹和海市蜃楼的形成都与散焦有关，深海声道的产生也涉及到声波的散焦，而散焦现象是可以用尖顶型突变来解释的，也就是说，光与声的散焦是一种突变过程。氢氧化物的水溶液有三种基本性质：强酸性；强碱性；不电离。显然，只要选择适当的控制变量，在控制平面上这些性质存在的中介状态，即弱碱、弱酸和两性区的分布应用蝴蝶突变来描述。尖顶突变型和蝴蝶突变型是几种质态之间能够可逆转化的模型。自然界还有些过程是不可逆的，比如死亡是一种突变，活人可以变为死人，反过来却不行。这一类过程可以用折迭突变型、燕尾突变型等势函数最高为奇次的模型来把握质量互便过程。突变理论解释的题目涉及到胚胎学、人性学、医学、生态学、地质学、地震学、光学、化学、协同学、激光、船舶稳定，以至囚犯骚动、战争爆发、市场崩溃等等，几乎无所不包。突变理论的研究对于深入讨论哲学上的质量互变规律，有很大意义。一百年前，黑格尔从大量的现象中第一次概括出质量互变规律，然而，一直没有出现过阐述这条规律的数学理论。所以，深入地研究突变理论，并从中吸取营养，将会促进质量互变理论的发展。
齐曼在“突变热”中起了很大推动作用，他是英国沃里克大学著名的数学教授，早年也致力于拓扑学，颇有建树。当他接触托姆的理论后，便被吸引住了。他组织了一个研究团体，悉心钻研，扩展应用，短短几年，论文已有400多篇，可称极一时之盛。前苏联拓扑学家阿诺尔德（Arnold）也做了许多漂亮的工作。至于应用则集中在物理、化学和工程学方面，凡是涉及几种稳定态（如气相、液相、固相都是相对稳定的）之间的跃迁变化，只要因素变化的数目不超过4，都有可能应用突变理论，至少可以做定性的描述，有些则能得出定量的结果。
现代科学日新月异，新鲜事物层出不穷，人们称突变理论是鲜花盛开的科学百花园中的一枝奇葩，它与比利时布鲁塞尔自由大学教授著名化学家普里高津的“耗散结构理论”，联邦德国斯图加特大学理论物理学家哈肯教授的“协同论”，构成今天的所谓“新三论”。我们完全相信，随着对突变理论研究工作的不断深入和应用范围的日益扩大，它将会成为数学中名副其实的新兴分支，而与微积分并光辉。
