“特征信息”的捕捉与解题的最优化 |
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丁保荣在文［1］中，提出了一个十分重要的问题：通过捕捉题设（或结论）中的“特征信息”，优化解题思路．罗增儒教授在他的许多文章中也有精辟的论述，尤其是在解题分析中，非常重视解题速度、解题的最优化问题．［2］［3］
文［1］的例1、例2的“特征信息”，其实都可以联系到一个重要不等式：
定理 若ａ，ｂ∈Ｒ，则（ａ＋ｂ）2≥4ａｂ．
文［1］的例1尽管给出了三种解题思路，但是却有美中不足：尚未揭示出其最优解题思路；例2虽巧妙地构造出二次方程，但仍然缺乏最优化思考．
本文旨在展示平凡的定理（ａ＋ｂ）２≥4ａｂ在“特征信息”聚焦时的最优化解题特征．
首先，通过“等导不等”来证明这个定理：
（ａ＋ｂ）２＝4ａｂ＋（ａ－ｂ）２≥4ａｂ，
当且仅当ａ＝ｂ时，等号成立．
下面列举一系列数学问题，其“特征信息”均可或显或隐地聚焦于定理（ａ＋ｂ）２≥4ａｂ．限于篇幅，解题时不作一一分析，只展现定理的最优化解题思路．
例1 已知实数ａ，ｂ，ｃ满足等式ａ＝6－ｂ，ｃ２＝ａｂ－9，求证：ａ＝ｂ． （文［1］例1）
证明：依定理（ａ＋ｂ）２≥4ａｂ，即6２≥4（ｃ２＋9），得ｃ＝0，从而ａ＝6－ｂ，ａｂ－9＝0，解得ａ＝ｂ＝3，故证毕．
例2 若（ｚ－ｘ）２－4（ｘ－ｙ）（ｙ－ｚ）＝0，则ｘ，ｙ，ｚ成等差数列． （1979年全国高考题）
证明：由题设知（ｚ－ｘ）２＝4（ｘ－ｙ）（ｙ－ｚ），而依本文定理，则有（ｚ－ｘ）２＝（ｘ－ｚ）２＝［（ｘ－ｙ）＋（ｙ－ｚ）］２≥4（ｘ－ｙ）（ｙ－ｚ），可见ｘ－ｙ＝ｙ－ｚ，从而ｘ，ｙ，ｚ成等差数列．
例3 方程组ｘ＋ｙ＝2，的实数解的组数是（ ）．
ｘｙ－ｚ２＝1
Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．无穷多 （1987年上海市初中数学竞赛试题）
解：依定理知，（ｘ＋ｙ）２≥4ｘｙ，则2２≥4（ｚ２＋1），得ｚ＝0，原方程组化为
ｘ＋ｙ＝2，显然只有一解ｘ＝ｙ＝1，故选Ａ．
ｘｙ＝1，
例4 已知ａ，ｂ，ｃ都是实数，且ａ＋ｂ＋ｃ＝0，ａｂｃ＝1，求证：ａ，ｂ，ｃ中必有一个大于3／2． （1991年“曙光杯”初中数学竞赛试题）
证明：由题知，ａ，ｂ，ｃ中必有一个是正数，不妨设ｃ为正数．依定理（ａ＋ｂ）２≥4ａｂ，得（－ｃ）２≥4·（1／ｃ），或ｃ３≥4，于是ｃ≥ ＞ ＝3／2，故得证．
注意：此处还有意外收获，原题结论还可改进为：求证：ａ，ｂ，ｃ中必有一个不小于 ．
例5 ａ，ｂ，ｃ，ｄ都是小于1的正数，求证：在4ａ（1－ｂ），4ｂ（1－ｃ），4ｃ（1－ｄ），4ｄ（1－ａ）中，不可能都大于1． （1962年美国数学竞赛试题）
证明：巧妙地逆用定理，注意4ａ（1－ｂ）·4ｂ（1－ｃ）·4ｃ（1－ｄ）·4ｄ（1－ａ）＝4ａ（1－ａ）·4ｂ（1－ｂ）·4ｃ（1－ｃ）·4ｄ（1－ｄ）≤［ａ＋（1－ａ）］２·［ｂ＋（1－ｂ）］２·［ｃ＋（1－ｃ）］２·［ｄ＋（1－ｄ）］２＝1２·1２·1２·1２＝1，由此可见，4ａ（1－ｂ），4ｂ（1－ｃ），4ｃ（1－ｄ），4ｄ（1－ａ）中不可能都大于1．
例6 已知ｘ＞0，ｙ＞0，且ｘ＋ｙ＝4，Ｓ＝（6－ｘ）·（5－ｙ），求S的最大值．
解：依定理，知4Ｓ＝4（6－ｘ）（5－ｙ）≤［（6－ｘ）＋（5－ｙ）］２＝［11－（ｘ＋ｙ）］２＝（11－4）２＝49，Ｓ≤49／4，当ｘ＝21／2，ｙ＝11／2时，Ｓｍａｘ＝49／4．
当然，定理最主要还是应用于巧证不等式方面．
例7 已知 ｙ－2ｘ＝ｚ，求证：ｙ２≥4ｘｚ． （文［1］例2）
证明：由题设，知 ｙ＝2ｘ＋ｚ．依定理，知（ ｙ）２≥4·2ｘ·ｚ，或2ｙ２≥8ｘｚ，即ｙ２≥4ｘｚ，证毕．
纵观以上各例，依定理解题，显得规律有序，思路清晰，方法简便，且显然优于原来的方法．
例8 正数ｘ，ｙ，ｚ，ａ，ｂ，ｃ满足条件ａ＋ｘ＝ｂ＋ｙ＝ｃ＋ｚ＝ｋ．求证：ａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＜ｋ２． （1987年（前）苏联数学奥林匹克试题）
证明：传统证法大半是构造正三角形或正方形，利用面积关系证之．今依定理，即刻知
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4ａｘ＋4ｂｙ＋4ｃｚ≤（ａ＋ｘ）２＋（ｂ＋ｙ）２＋（ｃ＋ｚ）２＝ｋ２＋ｋ２＋ｋ２＝3ｋ２，
于是，ａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ≤（3／4）ｋ２＜ｋ２，故证毕．
可见，依定理还有意外收获，得到原式的一个加强式：ａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ≤（3／4）ｋ２．而这一加强难在传统证法中体现出来．
例9 已知ａ＞1，ｂ＞1，ｃ＞1，求证：
（ａ２／（ｂ－1））＋（ｂ２／（ｃ－1））＋（ｃ２／（ａ－1））≥12．
证明：依定题，知ａ２＝［（ａ－1）＋1］２≥4（ａ－1）·1＝4（ａ－1）．同理ｂ２≥4（ｂ－1），ｃ２≥4（ｃ－1），于是，（ａ２／（ｂ－1））＋（ｂ２／（ｃ－1））＋（ｃ２／（ａ－1））≥
4（（（ａ－1）／（ｂ－1））＋（（ｂ－1）／（ｃ－1））＋（（ｃ－1）／（ａ－1）））≥4·3 ＝12，证毕．
例10 设ｘ，ｙ为非负数，且满足ｘ＋ｙ＝1，求证：
1＋ ≤ ＋ ≤2 ．
证明：考虑（ ＋ ）２＝2（ｘ＋ｙ）＋2＋2 ＝4＋2 ，或 ＋ ＝ ，依题知及定理，有0≤4ｘｙ≤（ｘ＋ｙ）２＝1，故 ≤ ＋ ≤ ．
于是1＋ ≤ ＋ ≤2 ，证毕．
定理（ａ＋ｂ）２≥4ａｂ的优化解题功效远不止这些，只要留心些，读者必定还会有所发现和创新．令人振奋的是，从基本不等式ａ＋ｂ≥2 ，平方即可得（ａ＋ｂ）２≥4ａｂ；但令人遗憾的是，ａ＋ｂ≥2 的应用，已是老生常谈，而（ａ＋ｂ）２≥4ａｂ却少见报道．笔者试图通过本文，借以引为重视!
参考文献
1 丁保荣．信息与解题．中学数学教学参考，2001，5
2 罗增儒．看透本质，优化过程．中学数学教学参考，2001，6
3 罗增儒．数学解题学引论．西安：陕西师范大学出版社，1997
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